각 이등분선 정리란?

제가 처음으로 하고 싶은 것은 각의 이등분선 정리가 무엇인지 보여주고 우리가 직접 증명해보도록 하겠습니다 여기에 임의의 삼각형 하나가 있습니다 삼각형 ABC죠 그리고 위쪽에 있는 각에 대한 각의 이등분선을 그리도록 하겠습니다 사실 세 각들 중 아무 각으로 해도 되지만 그냥 이 각으로 하겠습니다 증명이 좀 더 수월해질테니까요 각 ABC를 이등분해보도록 하죠 이게 각 ABC의 이등분선이라고 합시다 그래서 여기 이 각은 저 각과 크기가 같습니다 그리고 아래쪽에 있는 점을 점 D라고 부르기로 합시다 각의 이등분선 정리는 이등분선을 제외한 다른 변들의 길이 비가 같다고 말합니다 그러니까 여기에 각의 이등분선을 그리면 큰 삼각형이 두 개의 작은 삼각형들로 분할되죠 각의 이등분선 정리는 우리가 방금 만든 두 삼각형의 변들이 비율이 같을거라고 말하고 있습니다 즉 선 AB와 선 AD의 비율이 선 BC와 선 CD의 비율과 같다는 거죠 그러니까, 색칠해서 구분해보자면 여기 보이는 선 AB와 선 AD의 비율이 선 BC와 여기보이는 선 CD의 비율과 같아질거라고 말하고 있습니다 그러니까 AB와 AD의 비율이 BC와 CD의 비율과 같다는 것을 보면 흥미로운 결과가 아닐 수 없죠 하지만 단순히 멋있는 결과라고 해서 무작정 믿어버리면 안됩니다 우리 스스로 증명해보아야 하죠 여기보면 우리가 미리 만들어놓은 비율들이 있습니다 그래서 비슷한 삼각형들을 이용하여 증명해볼건데요 불행히도 여기 보이는 두 삼각형들이 그다지 비슷해보이지는 않네요 우리는 여기 보이는 두 각들이 같다는 것은 알고 있지만 이 각이 저 각과 크기가 같은지는 모릅니다 우리는 두 각들의 크기가 같다고 확신해서 말할 수 없죠 그래서 이를 증명해내기 위해서는 여기에 있는 이 삼각형과 비슷한 또다른 삼각형을 그려야할 것 같습니다 하나의 방법은 또다른 선 하나를 그리는 것이죠 제가 이 증명을 처음 접했을 때는 당연하게 느껴지지 않았습니다 그러니까 당연하게 받아들여지지 않는다고 당황하실 필요는 없습니다 만약 여기 보이는 각의 이등분선을 밑으로 쭉쭉 이어본다면 이런 식으로 이어봅시다 계속 계속 이어서 그려봅시다 그리고 이 삼각형과 닮은꼴인 또다른 삼각형 하나를 그려야 하는데요 선 AB와 평행한 선 하나를 아래쪽에 그려봅시다 그리고 평행선을 그릴때 하나 알려드릴 것은 만약 C가 AB 위에 없다면 C를 지나고 AB에 평행한 또다른 선을 그리면 되는 겁니다 즉 그냥 또다른 선을 이런 식으로 그린 다음 여기 보이는 이 점을 점 F라고 부릅시다 그리고 FC가 AB에 평행하다는 것을 보이기 위해 이런 식으로 표시해 놓읍시다 여기 보이듯이 FC가 AB와 평행합니다 이런 식으로 그려놓은 후에 우리는 흥미로운 결과를 볼 수 있는데요 우리는 방금 두 닮은꼴 삼각형을 그려놓았죠 여기서 알아낼 수 있는 것들이 뭘까요 삼각형의 닮음에 대해 생각하기 전에 각들에 대해서부터 생각해봅시다 여기 보이는 이 각들에 대해 우리가 알고 있는 것은 엇각이 존재한다는 거죠 이를테면 두 평행선이 있다고 합시다 AB가 이렇게 쭉쭉 이어지고 FC도 쭉쭉 이어지고 선 BD가 횡단선이라면 이 각의 크기가 몇 도이든 이 각도 똑같은 크기를 가질 거라는 거죠 우리가 처음에 횡단선과 각들에 대해 얘기할 때 엇각에 대한 내용을 배웠었죠 그래서 이 두 각들은 같은 각들일겁니다 그리고 이 각과 이 각 또한 같은 각들이죠 왜냐하면 이 각과 이 각이 같기 때문입니다 이것은 각의 이등분선이고 그렇기 때문에 우리는 각 ABD가 각 DBC와 같다는 것을 알 수 있습니다 그러니까 이 각이 어떤 각이든 간에 이 각 또한 같은 각이라는 거죠 우리는 이로부터 매우 흥미로운 결과를 볼 수 있는데요 여기에 있는 큰 삼각형 BFC를 보면 두 밑각이 같습니다 이는 이 삼각형이 이등변 삼각형이라는 것을 의미하죠 따라서 BC는 FC와 같을 것이고 매우 재밌는 결과죠 우리는 방금 횡단선과 엇각의 원리를 이용하여 이 삼각형이 이등변삼각형이라는 것과 BC가 FC와 같다는 것을 증명해냈습니다 이것은 꽤 유용하게 쓰일 수 있죠 왜냐하면 우리는 비록 아직 증명해내지는 않았지만 이 삼각형과 이 삼각형이 닮음이라는 것을 알고 싶기 때문이죠 하지만 이것이 여기 보이는 BC에 대해 어떤 것을 알려줄 수 있을까요? 우리는 방금 BC와 FC가 같다는 것을 증명해냈고 여기 보이듯이 BC와 FC는 같습니다 그리고 우리는 AB와 AD의 비율이 FC와 FD의 비율과 같다는 것을 증명해내고 싶습니다 왜냐하면 우리가 방금 보였듯이 BC는 FC와 같기 때문이죠 이제 본격적으로 각의 이등분선 정리로 들어가봅시다 FC는 AB와 평행하고 따라서 이 이등변삼각형이 생성되죠 두 변이 같다는 것을 표시해줍시다 그리고 삼각형의 다른 각들도 살펴본다면 만족스러운 결과를 얻을 수 있을겁니다 여기에 있는 삼각형 ABD를 본다면 이 쪽에 있는 삼각형 ABD와 삼각형 FDC에 대해서 우리는 이미 두 삼각형들이 한 쌍의 같은 각을 가지고 있다는 것을 알고 있습니다 또한 두 삼각형들을 보면 삼각형 ABD의 이 각은 반대쪽의 여기 보이는 이 각과 동위각이라는 것을 알 수 있죠 그리고 두 삼각형이 두 개의 같은 각들을 가지고 있다면 세번째 각은 당연하게도 똑같은 크기를 갖겠죠 아니면 AA 닮음 원리를 이용해서 두 삼각형이 닮음이라고 말할 수 있죠 써볼게요 대응하는 변들을 잘 맞춰야합니다 AA 닮음 원리를 이용하자면 이 초록색 각에서부터 시작해서, 그러니까 B 그리고 그 다음에 파란색 각으로 가면 삼각형 BDA가 됩니다 그리고 이것은 다시 초록색 각에서 출발해서, 그러니까 F 그리고 파란색 각으로 가면 삼각형 FDC와 닮음입니다 이쯤되면 각의 이등분선 정리로 들어가보도록 하죠 두 닮은꼴 삼각형들을 두고 AB와 AD에 대한 대응하는 변들의 비율을 계산해보면 닮은꼴 삼각형에서는 대응변들의 길이 비가 같습니다 아니면 또다른 방법은 닮은꼴 삼각형의 두 변들의 길이 비와 또다른 삼각형에서의 대응하는 두 변의 길이비를 비교해보는 것입니다 그 둘의 길이비는 같게 될 것입니다 즉 닮음꼴인 삼각형에서는 AB의 비율이 아, 덧붙이자면 AA 원리에 의한 것이니까 적어보도록 할게요 AA 원리에 의하여 두 삼각형은 닮음꼴입니다 그러니까 AB와 AD의 비는 다른 삼각형의 대응하는 변들을 맞춰보면 선 AB의 대응하는 변은 선 CF죠 따라서 AB와 AD의 비는 CF와 AD 아, 그리고 AD는 CD와 같으므로 CF와 CD의 비와 같습니다 결과적으로 AB와 AD의 비율은 CF와 CD의 비율과 같습니다 하지만 우리는 방금 증명해냈죠 왜냐하면 이것은 이등변 삼각형이고 CF는 BC와 같습니다 여길 보면 알 수 있죠 즉 CF는 BC와 같습니다 그럼 이젠 끝난거에요! 우리는 방금 AB와 AD의 비가 BC와 CD의 비와 같다는 것을 증명해냈습니다 그래서 결국 우리가 해야 했던 일은 대표적으로 두 가지인데요 하나는 또다른 삼각형을 그리는 것인데 이것은 우리로 하여금 이것이 평행하다고 가정했을 때 우리로 하여금 두 가지를 알 수 있게 했습니다 또다른 각을 이용해서 삼각형이 닮음이라는 것을 알아냈고 또한 우리로 하여금 죄송해요. 잠시 목이 잠겼네요 우리로 하여금 여기 보이는 이 삼각형을 이용하여 두 삼각형이 닮음이라는 것과 이 큰 이등변 삼각형을 만듬으로써 이 삼각형의 두 변의 길이비와 이 길이를 비교했을 때 그 비율은 이것의 비율과 같을 것입니다 이 변과 이 변의 비를 알 수 있다면 그것은 이 변과 이 변의 비와 같을 것입니다 그러니까 이것은 이 변과 이 변의 비가 BC와 CD의 비와 같다는 것을 보여주는 또다른 방법이죠.