합동인 삼각형 찾기

여기에 다섯 개의 다른 삼각형들이 그려져 있습니다 이 비디오에서는 삼각형들 중 어느 것들이 서로 합동인지 살펴 보도록 하겠습니다 합동인지 아닌지를 알아보기 위해서는 삼각형의 합동 조건을 알아야겠지요 두 삼각형이 서로 합동이려면 세 변의 길이가 모두 같아야 합니다 SSS 합동이라고 하지요 또 두 삼각형이 서로 합동이려면 길이가 같은 변 하나와 크기가 같은 각 하나, 그리고 또 다른 길이가 같은 변 하나가 있어도 됩니다 SAS 합동이라고도 합니다 우리는 변과 각을 뒤집어도 합동 조건이 된다는 것을 이미 알고 있습니다 즉 크기가 같은 각 두 개와 각 두 개에 끼어 있는 길이가 같은 변이 있다면 이 두 삼각형 역시 합동이라고 할 수 있습니다 마지막으로, 크기가 같은 각 두 개와 길이가 같은 변이 있다면, 이도 AAS 합동이 됩니다 이들 중 하나라도 만족한다면 두 삼각형은 합동이라고 할 수 있습니다 합동 조건을 알아보았으니 주어진 삼각형들을 살펴보겠습니다 이 삼각형들 중 어떤 것이 서로 합동일지 주어진 합동 조건을 통해 알아봅시다 여기에 있는 삼각형 ABC를 보면 길이가 7인 변 하나와 각각 60도, 40도인 각이 주어져 있습니다 이를 다르게 생각해 보면 각 두 개와 변 하나가 주어진 것입니다 그 값은 40도, 60도, 그리고 7입니다 이 상태에서 삼각형 ABC와 합동이려면 적어도 각 두 개와 변 하나가 주어져야 합니다 적어도 각 두 개와 변 하나가 주어져야 합니다 (다른 방법을 이용해 구해야 할 수도 있겠지만 말이에요) 하지만 이 문제에서 각들이 이미 주어져 있으니 그럴 필요까지는 없을 것 같네요 즉 각 두 개와 변 하나가 주어져야 합동인 삼각형을 찾을 수 있습니다 하지만 단순히 각 두 개와 변 하나가 주어졌다고 해서 합동이라고 할 수는 없습니다 정확히 40도, 60도, 그리고 7이어야 합니다 그리고 순서 역시 같아야 하겠지요 즉 60도, 40도, 그리고 7일 수 없다는 말입니다 또 40도 각이 있는 곳에 7인 변이 있다면, 또 40도 각이 있는 곳에 7인 변이 있다면, 이것도 합동인 삼각형이라고 할 수 없습니다 삼각형 ABC에서는 60도인 각에 7인 변이 있기 때문이지요 이제는 다른 삼각형들이 삼각형 ABC와 같이 40도와 60도인 각과 7인 변이 여기에 위치해 있는지 확인해 봅시다 이 삼각형을 보면 40도와 60도는 있지만 7인 변이 이 둘 사이에 끼어 있습니다 이 삼각형은 다른 삼각형과 합동일 가능성이 있습니다 ASA 합동이 될 가능성이 높은데, 각 두 개와 그 사이에 끼어 있는 변의 길이가 주어졌기 때문입니다 이 삼각형은 아니겠군요 이것은 합동처럼 보이네요 이 삼각형도 두 개의 각과 끼인 변이 주어져 있으므로 이 둘이 합동일 수도 있겠지만 나중에 확인해 보도록 합시다 삼각형 ABC의 합동을 찾고 있는 중이었으니까요 이 삼각형 같은 경우 60도, 40도, 그리고 7이 있네요 그럴듯해 보이는군요 각 두 개와 변이 주어져 있지만 각의 순서가 다르게 배치되어 있습니다 삼각형 ABC는 40도-60도-7의 순이지만 삼각형 JKL은 60도-40도-7의 순이군요 즉 각 두 개와 변의 길이는 같지만 길이가 7인 변이 60도 쪽에 있지 않고 40도에 가 있죠 그러므로 이 삼각형도 합동이 아닙니다 이 삼각형은 40도, 60도 그리고 7의 순이므로 합동일 가능성이 있어 보입니다 삼각형 ABC의 변이 여기에 있고 이는 삼각형 NMO의 이 변과 합동입니다 그 다음에는 60도인 각이 여기에 위치해 있고 60도인 각이 여기에 있습니다 삼각형 NMO가 뒤집어진 상태이기 때문에 명확해 보이지 않을 수 있고 조금 다르게 그려 놓았지만 그림이 조금 다르다고 해서 합동이 아닐 것이라고 미루어 짐작하면 안 됩니다 마지막으로, 40도가 여기에 있고 이는 삼각형 NMO의 40도와 합동입니다 즉 우리는 이 둘이 합동이라고 할 수 있습니다 즉 우리는 이 둘이 합동이라고 할 수 있습니다 어디에 쓰는 게 좋을까요 여기에 쓰겠습니다 삼각형 ABC는 삼각형 NMO와 합동이라고 쓸 수 있습니다 삼각형을 어떻게 써야 할지 매우 조심해야 하는데 서로 대응하는 변끼리 순서가 맞도록 해야 합니다 서로 대응하는 변끼리 순서가 맞도록 해야 합니다 예를 들어, 삼각형 ABC는 꼭짓점 A에서 시작했는데 꼭짓점 A는 각 60도가 있는 지점입니다 60도의 각이 있는 꼭짓점입니다 삼각형 NMO에서는 60도의 각이 있는 꼭짓점이 N입니다 그러므로 N부터 써야 합니다 그 다음에 살펴 보면 A에서 B로 가는데 B는 그림 상에서 각의 크기가 쓰여져 있지 않은 꼭짓점입니다 B는 그림 상에서 각의 크기가 쓰여져 있지 않은 꼭짓점입니다 하지만 이 각의 크기를 충분히 구할 수 있습니다 이 두 각의 크기를 합하면 100도이므로 B는 80도가 될 것입니다 삼각형 NMO에서는 80도인 각이 M에 위치하므로 각의 크기가 쓰여져 있지 않은 꼭짓점이지요- 또는 길이가 7인 변의 끝쪽이라고 생각해도 됩니다 꼭짓점 N과 함께 길이가 7인 변의 끝에 위치해 있습니다 그러므로 N 다음에는 M이 와야 하겠네요 그러므로 N 다음에는 M이 와야 하겠네요 M, 그리고 O를 써 줌으로서 삼각형을 완성시킵니다 여기서 제가 강조하고 싶은 것은 삼각형의 꼭짓점의 순서가 서로 대응해야 한다는 것입니다 서로 순서가 맞지 않았을 경우에는 각 삼각형의 대응하는 꼭짓점이 나타나지 않게 됩니다 이렇게 정렬해 놓으면 꼭짓점 A가 N과 대응한다는 것을 보일 수 있고 이 서로 합동인 삼각형에서 꼭짓점 B가 꼭짓점 M과 대응한다는 것을 알 수 있습니다 변 AB의 길이는 변 NM의 길이와 같다고 말할 수 있겠지요 변 AB의 길이는 변 NM의 길이와 같다고 말할 수 있겠지요 서로 다 대응하게 되는 것입니다 그리고 이 두 삼각형은 각 두 개와 변 하나가 서로 같은 AAS 합동이라는 것도 알 수 있습니다 여기에 있는 삼각형 ABC는 여기에 있는 삼각형 NMO와 합동입니다 그렇다면 이 두 삼각형을 살펴봅시다 여기에는 40도인 각 하나와 다른 각 하나와 끼인 변 하나가 있는 것으로 보아 ASA 합동과 관련되어 있을 것이라는 것을 짐작할 수 있습니다 두 삼각형을 비교해 보면 각각 40도, 7, 그리고 60도 순으로 배치되어 있습니다 여러분은 이렇게 말할 수도 있겠지요 "잠깐, 이 삼각형은 40도가 아래에 위치해 있는데 이 삼각형에서는 40도가 위에 위치해 있네요" 하지만 이 삼각형을 뒤집으면 서로 합동이 된다는 사실을 기억해야 합니다 삼각형을 뒤집거나, 돌려서 합동이라면 두 삼각형은 합동인 것입니다 즉 삼각형 DEF를 뒤집으면 삼각형 HGI가 됩니다 하지만 앞에서처럼 삼각형 ABC를 뒤집는다고 해서 삼각형 KJL과 합동이 되지는 않습니다 이 두 삼각형은 서로 합동인데 공통적인 요인들을 정확히 짚어 보겠습니다 여기 60도인 각이 삼각형 HGI의 60도인 각과 합동입니다 삼각형 DEF의 길이 7인 변은 이 변의 길이 7인 변과 합동입니다 삼각형 DEF의 40도인 각은 삼각형 HGI의 40도인 각과 합동입니다 즉, 이 두 삼각형은 서로 합동입니다 여기에 써 보겠습니다 여기에 써 보겠습니다 여기에 써 보겠습니다 삼각형 DEF는 삼각형 HGI와 합동인데 다시 한 번 조심해서 써야 하겠지요 꼭짓점 D는 60도인 각이 위치한 점입니다 그러므로 H로 시작해야 합니다 꼭짓점 H 역시 60도인 각이 위치해 있지요 꼭짓점 H 역시 60도인 각이 위치해 있지요 D에서 E로 갔는데 꼭짓점 E는 40도인 각이 위치해 있는 점입니다 길이가 7인 변의 다른 한쪽 끝에 있는 점이기도 합니다 길이가 7인 변의 다른 한쪽 끝에 있는 점이기도 합니다 이 삼각형에서는 H에서 G로 가야겠네요 삼각형 HGI 이는 ASA 합동입니다 이는 ASA 합동입니다 이렇게 쓰면 됩니다 여기에 있는 삼각형 DEF는 삼각형 HGI와 합동입니다 결국 불쌍한 외톨이 하나만 남았네요 이 삼각형은 다른 그 어떤 삼각형과도 합동이 아닌 것처럼 보입니다 위에 있는 삼각형 ABC와 합동인 것처럼 보입니다 두 각 모두 아래에 위치해 있고 길이가 7인 변이 비슷한 자리에 위치해 있기 때문이죠 각이 아래에 있고 길이가 7인 변이 똑같은 위치에 있지만 서로 합동이 아닙니다 그 이유는 배치된 순서가 같지 않기 때문입니다 서로 대응하는 각의 순서가 같지 않습니다 이 간단한 문제를 풀면서 서로 합동인 삼각형들끼리 짝을 지으려 하면 모두 짝을 가지지는 못하게 됩니다 이 삼각형 같은 경우에는 비슷한 나머지 속아 넘어갔을 수도 있겠군요 만약 이 문제가 변형되어서 각 K 부분이 40도나 60도였다면 이 삼각형을 다른 삼각형들과 짝지어 주었을 수도 있겠군요 이 삼각형을 다른 삼각형들과 짝지어 주었을 수도 있겠군요 합동인 삼각형이 두 개 이상 나올 수도 있습니다 하지만 이 문제 같은 경우에 40도 더하기 60도는 100도이고 이 남은 각은 80도가 되어야 합니다 모두 더해서 180도가 되어야 하기 때문이지요 여기도 80도이고 여기도 80도입니다 만약 이 각이 40도라거나 60도로 문제가 변형되었다면 더 흥미로운 문제가 되었을 수도 있습니다 서로 합동인 삼각형이 두 개 이상 나올 수도 있기 때문입니다 하지만 이 문제에서는 남은 각이 모두 80도로 같기 때문에 하지만 이 문제에서는 남은 각이 모두 80도로 같기 때문에 불행하게도 이 삼각형은 혼자가 되어 합동인 짝꿍을 찾을 수 없게 됩니다