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합동인 삼각형에서 대응하는 부분은 합동입니다.

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'합동'에 대해서 조금 이야기해봅시다 '합동'이란 것은 그냥 도형의 모양이 같은 것이라고 생각하면 됩니다 대수학에서 어떤 것이 다른 것과 같다는 것은 그것들의 값이 같다는 것을 의미합니다 하지만, 모양에 대해서 이야기 할때는, 그리고 그 모양들이 같다고 이야기 할때는, 도형들의 모양과 크기가 같아야 합니다 그때야 비로소 그 도형들이 합동이라고 말할 수 있는 겁니다 그리고 여기에서 바로 간단한 예를 들어보도록 하죠 바로 저기에 이런 삼각형이 있구요, 그리고 또 바로 요런 삼각형이 있다고 가정해 봅시다 여러분이 이 삼각형을 이동시킬 수 있다면, 또는 회전시킬 수 있고, 뒤집을 수 있다면, 여러분은 그걸 이 삼각형과 완전히 같게 만들 수 있습니다 여러분이 어떠한 변의 길이나, 여기 이 각도들을 바꾸지 않는 한 말이죠 하지만, 여러분은 뒤집고, 이동시키고, 회전시킬 수는 있습니다 이걸 한 번 적어보겠습니다 그래서 여러분은 이동시키고, 뒤집고, 회전 시킬 수 있습니다 여러분이 이 세 가지의 과정을 통해서 정확히 이러한 똑같은 삼각형들을 만들 수 있다면, 그러면 그 둘은 합동입니다 그리고 삼각형이 서로 합동이라고 말할 때는.. 이 삼각형에 기호를 잠깐 붙여보죠 이 삼각형을 ABC라고 하고, 그리고 이제 이 삼각형을 XYZ 라고 합시다 그래서, 우리가 이 두 삼각형이 합동이라고 하면, 즉, 이 삼각형 ABC가... 합동이라는 것을 나타날 때는 이런 =과 비슷한 기호를 사용합니다 하지만 = 기호위에 뭔가 좀 더 구부러진 기호가 있죠 좀 더 예쁘게 적어보겠습니다. 그래서.. 이렇게 적어야 되겠죠 이렇게 이 삼각형 ABC가 삼각형 XYZ와 합동이라는 것은, 각각의 대응하는 변들이 같은 길이를 갖는다는 것을 의미하고, 각각의 대응하는 각 또한 같은 값을 갖는다는 것을 의미합니다 우리가 삼각형 ABC와 XYZ가 합동이라고 가정하면 그러면 우리는, 예를 들어, 변 AB가 변 XY와 같다는 것을 즉, 변 AB의 길이와 XY의 길이가 같다는 것을 알 수 있죠 바로 이런 식으로 할 수 있겠고, 변 AB와 변 XY는 서로 대응한다고 볼 수 있습니다. 그러면 여러분은 우리가 사실상 이 삼각형들을 정의 내렸다는 걸 확인 할 수 있을 겁니다 그래서 A는 X에 대응되고, B는 Y에, C는 Z에 각각 대응됩니다 변 AB는 변 XY와 같은 길이를 갖게 될 것이고, 만약 색깔로 표시하기가 어려운 경우에는 이렇게 표시해서 같다는 것을 나타내면 되겠죠 그래서 이 두 선분의 길이는 같은 길이를 갖습니다 그래서 이렇게도 말할 수 있겠네요, 항상 이런 식으로 적혀져 있는 게 아니기 때문에, 선분 AB가, 선분 XY와 합동이라고도 말할 수 있는 거죠 그렇지만 선분이 합동이라는 건 그냥 서로 길이가 같다는 의미랑 같은 것입니다 결국 이 두 가지 표시는 같은 의미인 셈입니다 정리하면 한 선분이 다른 선분과 합동이라는 것은, 한 선분의 길이 값이 다른 선분의 길이의 값과 같다는 이야기입니다 그래서 모든 대응변들에 이런 방식을 적용해 나갈 수 있겠습니다 이 두 도형의 특징들이 서로 합동이면 우리는 또 변 BC의 길이가 곧 변 YZ의 길이가 된다는 것을 알 수 있게 되겠죠 이 두 변이 서로 대응변이라고 가정한다면 말입니다 그리고 여기에는 이렇게 두 번 가른 표시를 해 줄 수 있겠죠 이 두 개의 변의 길이가 같다는 걸 표시해두는 용도입니다 그리고 세 번째 변들을 보면, 우리는 또 이 두 변이 같은 길이라는 것을 알 수 있습니다 혹은 이 두 변이 합동한다고 말할 수도 있습니다 또 우리는 선분 AC의 길이가 선분 XZ의 길이와 같을 거라는 걸 알 수 있습니다 우리는 이제 누군가가 한 삼각형이 다른 삼각형과 합동이라고 말하면 두 삼각형의 대응변들이 각각 같은 길이를 가진다는 것 뿐 아니라 대응각들 또한 각각 같은 크기라는 것을 알 수 있습니다 예를 들어 우리는 각 A의 크기가 그 대응각의 크기와 같다는 것을 알 수 있습니다 그 대응각은 바로 여기 있습니다 각 A는 이 오렌지 색의 변과 파란색 변 사이에 있습니다 아니 이 오렌지 색과 보라색 변 사이에 있다고 해야 겠네요 그리고 여기에서 오렌지 색 변과 보라색 변 사이에 있죠 그래서 이 합동은 또 각 BAC의 크기가 각 YXZ의 크기와 같다는 것을 말해주는 것입니다 각 기호를 조금 더 작게 다시 써야 겠군요 YXZ의 각도 YXZ 또 우리는 각 BAC가 각 YXZ와 합동이라고도 표현 할 수 있겠네요 그리고 한 선분이 다른 선분에 합동하는 것은 그 두 선분의 길이가 같다는 것을 의미하고, 한 각이 다른 각에 합동이라는 것도 마찬가지로 두 각의 각도가 같다는 것을 의미합니다. 그래서, 이 대응하는 두 각이 같은 값을 가지면 합동이라는 것을 알 수 있습니다. 우리는 여기 두 개의 대응각들도 같은 크기라는 것을 압니다 이렇게 두 번 아치를 그려서 두 각의 크기가 같다는 것을 표시하겠습니다 그래서 우리는 각 ABC의 값이 각 XYZ의 값과 같다는 것 또한 아는 겁니다 마지막으로는 이 각도 알 수 있겠죠 우리가 이 두 개의 도형이 합동이라는 걸 안다면 이 각도 여기 있는 각과 같은 값을 가질 겁니다 둘은 대응각이기 때문입니다 그래서 우리는 각 ACB가 각 XZY의 값과 같다는 걸 압니다 자 이제 우리가 고민해볼 문제는 어떻게 합동을 증명하느냐의 문제입니다 이건 굉장히 멋진 겁니다, 왜냐하면 2개의 삼각형이 합동이라는 걸 밝힐 수 있으면 이러한 모든 추측들을 할 수 있기 때문입니다 그래서 우리가 할 것은 무엇이냐면 기하학 입문 단계를 위해서 이것을 '자명한 원리' 또는 '공리'라고 해봅시다 아니면 당신이 그냥 '가정하는 것'라고 해볼 수도 있습니다 한 번 써보겠습니다. Axiom. 굉장히 어려운 말입니다. Postulate 또한 어려운 표현입니다. 이 둘은 간단하게 말하자면 '우리가 진실이라고 가정하는 것'이라는 뜻입니다. 그런데 axiom의 경우에는 가끔 의미의 차이가 있습니다 Axiom은 그 자체로 자명한 사실이거나 그냥 당연한, 보편적인 진실이어서 우리가 그냥 당연하게 받아들이는 경우죠 그렇지만 axiom 자체는 증명할 수가 없습니다 Postulate도 이와 비슷한 역할을 하지만, 이것을 진짜라고 가정했을 때 그로부터 무엇을 도출할 수 있느냐, 무엇을 증명할 수 있느냐를 보는 것입니다 하지만, 이건 기하학 입문 단계이기 때문에 두 단어는 혼용 가능하게 사용될 수 있습니다 요즘 대부분의 수학에서도 혼용가능하게 쓰입니다 Axiom이나 Postulate 은 우리가 전제로 받아들이고 그냥 맞다고 가정하는 것, 증명을 직접 하지는 않지만 거기서 더 발전시켜 나가는 그 가정들을 지칭하는 고급스러운 말입니다 그리고 우리가 기하학에서 볼 아주 중요한 전제 중 하나는 모든 변들이 합동이면, 즉 삼각형의 모든 변의 길이가 합동이라면 이 삼각형들은 합동이라는 원리입니다. 그래서 가끔은 이렇게 SSS 합동이라고 불립니다 여기서 그걸 증명하진 않을 것이고, 그냥 주어진 것으로 받아들일 겁니다 SSS는 side, side,side(변)를 의미하는 것입니다 그리고 이게 말해주는 것은 만약 두 개의 삼각형이 있으면 (여기에 다른 삼각형을 그려보겠습니다) 그리고 우리는 이 각각의 대변 길이가 서로 같다는 걸 안다고 해봅시다 그래서 바로 여기 있는 이 변이 바로 저기 있는 변과 길이가 같다는 걸 알고 이 변은 여기 있는 변과 같은 길이라는 사실을 알고 있습니다 또 여기 있는 변도 이 변과 길이가 같다는 사실을 압니다 이렇게 삼각형이 SSS라고 가정한 뒤 결론을 내는 거죠 이 두 삼각형이 합동이라는 것을 말입니다. 삼각형에 아무런 기호를 붙이지 않아서 지칭하기가 힘드네요. 어쨌든 이 두 삼각형들은 서로 합동이라는 것을 알 수 있습니다 여기서 중요한 건 모든 대변들의 길이가 같다는 것을 알면 이 두 삼각형이 합동이라는 것을 알 수 있고 다른 가정들도 해볼 수 있다는 것입니다 대각들도 서로 각도가 같다는 것처럼 말입니다 그래서 우리는 이 각이 저 각과 합동이라는 것을, 즉, 각도의 크기가 같다는 것을 알 수 있습니다 또 이 각은 여기 있는 각과 같은 값을 갖고, 이 각은 바로 여기의 각과 같은 값을 가집니다 그리고 이게 왜 합리적인 원리인지 혹은 왜 합리적인 가정인가를 보려면, 우선 하나의 삼각형을 잡아보겠습니다 여기에 삼각형이 있다고 해보겠습니다 그래서 이 삼각형은 이런 변이 있고, 이런 변이 있고 그리고 여기에 이런 변도 있다고 합시다 이제 제가 할 건, 각 변의 길이는 이 삼각형과 똑같지만 뒤집기, 이동시키기, 회전을 통해서는 이 삼각형과 똑같아질 수 없는 다른 삼각형을 만들 수는 없을 지 알아보는 것입니다 그래서, 우리는 그 다른 삼각형이 여기에 있는 삼각형과 변의 길이가 같다고 가정해봅시다 그렇게 그려보겠습니다 대충 비슷한 길이로요 그러면 이것과 같은 길이의 변을 가진다는 것을 알 수 있습니다 그래서 저 삼각형과 같은 길이의 변을 갖게 되는 거죠 이쪽으로 그려보겠습니다 그냥 더 재미있게 그려보기 위해서이죠 그러면 우리는 이 삼각형이 저런 변을 가진다는 것을 알 수 있습니다 또 대충 비슷하게 그려보겠습니다 하지만 다른 각도로 그릴 겁니다 다 그리면 이제 이 변과 같은 변이 있다는 것도 알 수 있습니다 또 여기에도 변을 그려보겠습니다 물론 저 길이와 동일하게 그려야 합니다 이건 분명히 삼각형이 아니니까 이것을 삼각형으로 만들기 위해서는 바로 여기에 있는 이 점을 저 점과 연결시켜야 합니다 이 두 점을 연결시킬 수 있는 방법은 두 가지입니다 우선, 여기 있는 이 접합점을 중심으로 회전시킬 수 있습니다 그래서 이 점들을 연결한다면 이렇게 생긴 삼각형이 생깁니다 사실 이것은 저 삼각형을 뒤집은 것이죠 제가 맞게 그리고 있죠? 맞습니다, 그냥 뒤집은 것에 불과하죠 이 방향으로 돌리기만 되면, 이 자홍색 부분이 이 변에 오게 되고, 노란색 부분은 이 변에 오게 됩니다 그 다음에 수직으로 뒤집으면 그러면 정확히 이렇게 생겼을 겁니다 이 두 개의 점들을 연결하는 또 다른 방법은 이 변들을 바깥쪽으로 돌리는 것입니다 그러면 노란색 변은 여기에 오게 되고, 자홍색 변은 여기에 오게 됩니다 자홍색이 아니네요 그래서 자홍색 변은 이렇게 될 겁니다 이렇게 한 다음에는 저 삼각형과 똑같이 만들기 위해서 이 도형을 회전시키기만 하면 됩니다 그렇지만 이건 증거가 될 수 없기 때문에, 우리는 이것이 자명한 진실이라고 가정을 할 겁니다 하지만 여러분은 이게 상당히 합리적인 출발점이란걸 알 수 있을 겁니다 두 삼각형의 모든 대응하는 변들이 길이가 같다면 그러면 우리는 이 둘이 합동이라는 것을 압니다 이 둘이 합동이라고 우리가 가정하는 데에서부터 점점 발전시켜나가는 것입니다 또 우리는 대응하는 각들 또한 같은 값을 가진다는 걸 압니다