합동하는 삼각형들의 대응각

여기에 큰 삼각형이 있습니다 그리고 그 안에는 다른 작은 삼각형들이 있습니다 여기에 주어진 정보가 있습니다 △BCD는 △BCA 와 합동이고, △BCA 는 △ECD와 합동입니다. 주어진 정보로 우리가 하고자 하는 것은, 이 그림의 모든 각의 크기를 알고자 합니다 모든 각의 크기를요 우리가 무었을 할 수 있는 지를 봅시다 그저 주어진 정보만으로 시작해봅시다 알고 있듯이, 우리는 △BCD가 각BCD가 합동인 것을 이 모든 삼각형들과 합동인것을 압니다 예를 들어 각BCD는 각ECD와 대응 관계이고 두 삼각형의 대응하는 각들과 대응하는 변들도 그 비율이 일정합니다 문제에서 제시된 대로 각B는, 대응되는데 △BCD에서의 각B는 △BCA에서의 각B와 대응됩니다. 그래서 △BCA에서의 각B는 이것이고 △ECD에서의 각E와 대응됩니다. 그래서 제가 빨간색으로 표시한 각들은 서로 대응 관계입니다. 우리는 이미 알지요 △BCD의 각C가 여기의 이 각이 △BCA의 각C와 대응되고 여기있네요 △BCA의 각C와 대응됩니다 그리고 이것은 △ECD의 각C와 대응 됩니다 여기에 있는 이 각을 말하는 것 인데요 그러므로 이 세 각은 서로 대응 관계입니다 이 세 각들의 크기를 구하는 방법을 눈치채셨으리라 믿습니다 그래도 그냥 그래도 그냥 문제를 파악해 봅시다 결국 여기의 각D는 각D는 이제 마지막 남은 것 인데요 여기의 △BCD의 각B는 여기의 이 각은 △BCA의 각 A와 대응 관계입니다 그래서 각 BCA는 여기 이 각과 대응 관계이고 이것은 우리가 이름붙이지 않은 마지막 하나인데 이 각과 대응됩니다. 대응 관계를 이루죠 이 각은 노란 동그리마를 해야 겠군요 이제 우리는 모든 대응 관계를 압니다 그리고 이들에 관한 흥미로운 것들을 알 수 있는데요 첫번째로, 여기 각BCA, 각BCD, 각DCE은 서로 대응이고 셋을 더할때 180º를 얻죠 여기 있듯이 세 각을 인접하게 놓으면 180º가 됩니다 바깥쪽을 보면요 이 각의 크기를 X로 놓으면 3X = 180º입니다 각의 크기가 60º임을 알 수 있습니다 60º 같은 값 3개를 더했을때 180º가 되는 유일한 값입니다 공평하죠 또 뭘 할 수 있을까요 위쪽의 두 각이 있네요 같은 두 각의 크기를 더하면 180º가 되겠군요 서로 보각관계입니다 같은 두 값을 더해 180º를 얻는 유일한 방법은 두 값이 90º인 거지요 그래서 이 두 각의 크기는 90º입니다 또는 직각이라고도 말할 수 있습니다 그리고 이 각은 다른 두 각과 대응관계이므로 역시 90º입니다 빨갛게 표시한 남은 각 들은 이렇게 구할 수 있죠 90º + 60º + 무언가 = 180º라면 90+60=150이므로 여기가 30º이어야 더해서 180º가 되겠죠 여기가 30º라면 여기도 30º이고 여기도 30º입니다 마지막 남은게 있네요 우리가 하고자 했던 것은 다 했습니다 모든 각의 크기를 알아냈지요 우리는 바깥에 대해서도 알 수 있습니다 바깥 각이 아니라 그저 합친 각이지만요 각 ABE에서 우리가 보는 각의 합은 60º입니다 이 각은 90º이고 여기 이 각은 30º입니다 흥미로운 것은 이 닮은 삼각형들은 모두 30º, 60º, 90º로 정확히 같은 크기의 각들을 가지고 있다는 것 입니다 빚변의 길이도 정확히 같습니다 우리는 이것들이 합동이기 때문임을 압니다 그러나 흥미로운 것은 이렇게 같이 놓으면 이 큰 삼각형 ABE의 구조 또한 닮지 않은 것 처럼 보입니다만 다른 길이의 변으로 이루어져 있으니까요 하지만 같은 각들을 가지고 있습니다 30º, 60º, 90º 입니다 이것은 다른 삼각형들과 닮았음을 의미합니다