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주요 내용
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기하학적 증명 문제: 사각형에 내접한 원

동영상 대본

사각형 ABCD는 정사각형이라고 주어져 있군요 즉, 네 변의 길이가 모두 같겠네요 그리고 네 내각은 모두 90도 일 것입니다 또, 선분FG는 선분BC의 수직이등분선이라는 것을 압니다 다시말해, 우리는 이것이 직각이며 90도인 동시에 선분BC를 이등분 한다는 것을 알 수 있습니다 그러므로, 이 길이는이 길이와 같게 됩니다 그리고 호AC는 원B의 일부분입니다 따라서 중심이 B인 원입니다 이 점이 원의 중심이고 이것이 원의 한 부분입니다 원의 왼쪽 아래 부분이 되겠네요 이런 조건들을 이용해서 우리는 각BED를 찾아내야 합니다 각BED의 크기는 얼마일까요? 각BED 우리는 이 각의 크기를 찾아내야 합니다 잠시 동영상을 멈추고 혼자서 힌트 없이 어떻게 풀어야할지 생각해보기를 추천합니다 그리고 한 번 시도해 봤다면 제가 힌트를 드리도록 하지요 만약 어떻게 풀어야할지 모르겠다면 이 힌트를 듣고 다시 멈춰서 생각해보세요 힌트는 삼각형을 몇개 그려서 이 각을 여러 부분으로 나눠 생각해 보는 것입니다 그러면 조금 쉽게 구할 수 있겠네요 삼각형과 관련된 원리를 이용해 해결 할 수 있을 것 같아요 한 번 풀어보겠습니다 어떻게 해결해야할지 깨닫는 지점에서 반드시 강의를 멈추고 혼자서 풀어보시기 바랍니다 힌트는 이것이 원이기 때문에 점B과 호AC 위의 아무 점을 이으면 그 선분의 길이가 원의 반지름의 길이와 같다는 것입니다 따라서 선분AB 길이는 반지름 길이와 같고, 선분BE 길이도 반지름 길이와 같습니다 반지름 길이와 길이가 같은 보조선들을 그려봅시다 일단, 선분BC도 반지름과 같겠네요 우리 조금 더 생각해 봅시다 보조선에 대해 잠시 말해보자면, 더 어려운 기하 문제들은 보조선을 알맞게 긋는 것에서부터 시작해요 혹은 삼각형을 알맞게 그려야해요 이 문제는 아마 당신에게 생각의 범위를 넓혀주어 문제를 쉽게 풀 수 있을거에요 선분EC를 그려보겠습니다 최대한 곧게 그려볼게요 다시 더 잘 그려볼게요 선분EC입니다 이제 흥미로운 점을 발견할 수 있습니다 삼각형EBG와 삼각형 ECG는 무슨 관계인가요? 당연히 이 두 삼각형은 모두 같은 변을 공유하고 있습니다 공통변 EG가 있네요 또, 선분BG와 선분GC는 길이가 같네요 더불어, 두 삼각형은 모두 90도인 각이 있습니다 여기 90도가 있죠 여기에도 90도가 있네요 SAS합동이군요 즉, 두 삼각형은 합동입니다 우리는 삼각형EBG와 삼각형 ECG가 합동임을 보였습니다 ECG, C가 E가 아님을 강조하겠습니다 어쨌든 SAS합동이므로 어쨌든 SAS합동이므로 대응각과 대응변들은 모두 같다는 것을 알 수 있습니다 그러므로 우리는 선분EC는 선분EB와 같다는 것을 알 수 있습니다 선분EC는 선분EB와 같다는 것을 알 수 있습니다 선분EB는 선분EC와 길이가 같습니다 이들과 길이가 같은 변들은 또 무엇일까요? 다시 한 번 말하지만, 선분BE는 원의 중심에서 호까지 이은 반지름입니다 선분BC도 마찬가지죠 선분BC도 원의 반지름입니다 따라서 선분BC도 같다고 적을 수 있겠네요 세 변의 길이가 같다는 표시를 할 수 있겠네요 짧은 선분들이 아니라 선분BC를 표시한 것 입니다 선분BC 전체를 말이죠 그렇다면 이 삼각형의 종류는 무엇일까요? 삼각형BEC 말이죠 삼각형BEC는 정삼각형입니다 정삼각형 세변이 모두 같기 때문에 우리는 세 각이 모두 같다는 것도 알 수 있습니다 각 BEC의 크기가 60도라고 할 수 있겠네요 각BEC가 60도라고 표시할 수 있네요 정답의 일부분을 해결했군요 각BEC는 각 BED의 일부분입니다 지금 각CED를 안다면, 이 각의 크기를 안다면 우리는 60도를 더해서 답을 구할 수 있습니다 각BED를 구할 수 있는 것이죠 어떻게 구할지 한 번 생각해 봅시다 우리가 이미 알고 있는 몇 가지 흥미로운 사실들이 있습니다 우리는 이 선분이 원의 반지름과 같다는 것을 알 수 있습니다 또한, 이 아래 선분도 사각형ABCD는 정사각형이므로 이 아래의 선분은 이 위의 선분과 같다는 것을 알 수 있습니다 두 선분의 길이가 같으므로 이 선분 또한 원의 반지름의 길이와 같습니다 선 3개를 통해서 이미 같다고 표시한 것처럼 선분BC는 이 길이와 같습니다 따라서 정사각형이기 때문에 네변의 길이가 모두 같겠네요 제가 적어보겠습니다 정사각형이므로 이렇게 적어볼게요 우리는 선분CD가 선분BC와 같고 우리가 앞서 구했듯이 CE와 같습니다 또, EB와도 같겠네요 우리가 여기서 깨달아야할 것은 이것과 이것의 길이가 같다는 것입니다 그리고 이 사실이 중요한 이유는 이 사실로부터 우리는 이 삼각형이 이등변삼각형임을 알 수 있기 때문이죠 이등변 삼각형이에요 따라서, 이등변 삼각형이기에 두 변의 길이와 두 밑각의 크기는 같습니다 다시 말해, 이 초록색 각의 크기들은 그 크기가 같다는 것입니다 따라서 우리는 180도에서 이 각의 크기를 빼고 2로 나눈다면 각의 크기를 알 수 있을 거에요 두 밑각의 크기가 같기 때문에 그렇죠 그렇다면 이 각의 크기를 어떻게 알아낼 수 있을까요? 우리는 윗부분의 각들을 알고 있습니다 위쪽 각들을 다 구해보죠 이것은 정삼각형이므로 이 각이 60도가 되겠네요 여기도 60도이고, 또 여기도 60도 이겠네요 제가 적어볼게요 각BCE도 크기가 같다 각BCE를 구해서 60도라는 것을 밝혔고, 정사각형이라는 것을 알고 있습니다 그렇다면 이 각의 크기, 각 ECD의 크기는 얼마일까요? 각 ECD의 크기는 얼마일까요? 새로운 색깔을 사용해볼게요 이 각은 30도가 되겠죠 30도이에요 이제, 우리는 답을 구할 수 있습니다 이 두 밑각의 크기를 x라고 합시다 두 밑각의 크기는 같으므로 x + x + 30는 180도가 되겠군요 삼각형의 내각의 합은 180도니까요 따라서, 방정식을 풀면 2x + 30 = 180 30을 양변에서 빼주면 2x = 150 양변을 2로 나누면 x = 75이겠네요 우리는 x가 75임을 밝혔습니다 다시 문제로 돌아가서 우리는 각BED를 구해야 합니다 그 값은 x가 각CED이므로 각BED는 각CED + 각BEC이네요 60도 + 75도 는 아마도 드럼 소리 준비됐나요? 75도 + 60도이므로 135도가 되겠네요 이제 끝이에요