기하학적 증명 문제: 중점

여기 2개의 평행한 직선이 있네요 선분 AB와 선분 CD죠 둘은 평행합니다 평행한 선분들이라고 할 수 있겠네요 그리고 그 선분들을 지나는 횡단선도 있습니다 여기 횡단선 BC와 횡단선 AD도 있네요 이 도표가 알려주는 것은 바로 A와 E사이의 거리가 이 점은 선분이라는 것을 나타내죠 점 E와 D사이의 거리와 같다는 것입니다 다르게 생각해보면 점E가 선분 AD의 중점이라는 것이죠 제가 이 동영상을 통해서 증명하고 싶은 것은 점E가 선분BC의 중점일까 라는 것입니다 여기에 질문이 있네요 점 E가 선분 BC의 중점인가? 여러분은 지금까지의 영상을 통해 짐작 할 수 있을겁니다 최근의 영상들 중에서요 합동인 삼각형들과 관련 잇을 수도 있겠다고요 한번 합동 관계를 찾아 볼 수 있는지 봅시다 2개의 분명한 삼각형들 사이에 위쪽에 있는 왼쪽의 삼각형과 아래쪽에 삼각형이 있습니다 이 삼각형은 위로 향하고 있고 이 삼각형은 아래로 향하고 있네요 여러분은 맞꼭지각과 횡각들에 대해서 잘 알고 있습니다 가장 분명한것은 여기 맞꼭지각 즉 각 AEB는 각 CED와 크기가 같다는 것입니다 우리는 각 AEB가 각 DEC와 크기가 같다는 것을 알 수 있죠 두 각이 크기가 같다는 것을 나타냅니다 위 두 각들이 맞꼭지각 맞꼭지각이기 때문에 알 수 있죠 우리는 또한 선분 AB와 CD가 평행하다는 것을 알고 있습니다 여기 횡단선인 이 직선은 예를 들자면 사실 이 문제를 해결하는 방법에는 여러가지가 있습니다 그런데 우리는 이 선이 횡단선 이라는 것을 알고있죠 여러가지 방법이 있습니다 이 횡단선에 대한 설명을 계속할게요 모든 각들을 볼 수 있도록 말이죠 여기 이 각 ABE를 이곳에 위치한 각 ABE는 각 ECD의 엇각 여기 이각의 엇각이라는 것을 알 수 있습니다 여러분이 까먹지 않았다면 여기 이 각의 대응각은 여기 위치한 이 각이라고 볼 수 있겠죠 이 선을 조금 더 연장시킨다면 이 각이 대응각이자 맞꼭지각입니다 다른 방법으로 각 ABE는 여기 적어볼게요 좀 더 명확히 할게요 각 ABE는 각 ABE는 각 DCE에 대응할 것입니다 각 DCE에 대응할 것입니다 우리는 여기 이 엇각들이 엇각을 나타내기 위한 표시를 할게요 그러면 여기 흥미로운 관계가 성립하네요 이 각에 합동인 각이 있고 또 다른 각에 합동인 각이 있네요 그리고 이 변은 이 변과 일치합니다 분홍색 각과 초록색 각, 그리고 변 분홍색 각과 초록색 각, 그리고 변이 같네요 그래서 우리는 AAS, 두개의 각과 한개의 변이 같은 합동임을 알 수 있습니다 올바른 순서로 되어있네요 그래서 이제 우리는 이 삼각형이 글자를 정확히 해야겠네요 상응하는 꼭짓점들이 알맞은지요 삼각형 AEB는 더 흥미롭기 위해서 그냥 각부터 설명을 할게요 각 BEA, 자주색과 초록색, 그리고 아직 표시하지 않은 곳까지의 각입니다 그래서 각 BEA가 자주색인 꼭짓점 C 가운데로 가서 꼭짓점 E 그리고 색깔이 표시되지 않은 곳, D까지입니다 우리는 이를 두개의 각과 하나의 변이 같음으로 인한 것임을 알 수 있습니다 그리고 각각은 자주, 초록색 각과 변에 상응하죠 자주 각, 초록 각, 그리고 변 그들은 모두 각각 합동입니다 이는 AAS의 형태이고 이들이 모두 합동인 것을 안다면 상응하는 변들이 각각 같다는것을 뜻하네요 그렇다면 우리는 이 변이 이 두 삼각형이 서로 합동이고 이는 각각의 대응되는 변들이 합동이라는 것을 뜻합니다 이제 BE의 길이는 선분 BE의 길이는 이 선분은 자주색 각과 초록색 각 사이에 위치한 선분이고 변 CE, 즉 자주색 각과 초록색 각의 사이에 위치한 이 변이 대응되는 변이네요 저번에 말한대로 숫자를 매기면 이것이 1번 식, 2번식, 3번식이 되겠네요 세 문장으로 나오게 됩니다 따라서 우리는 점 E가 선분 BC의 중점이라는 것을 증명했고 바로 선분 BE가 CE와 같다는 결론을 이끌어 낼 수 있죠 이를 표시할 수 있겠네요 여기 위치한 이 선분은 여기 있는 선분과 일치합니다 우리는 이 두 삼각형이 합동 이라는 것을 알기 때문이죠 증명하는 과정에서 우연히 두개의 세로단으로 증명했네요 왼쪽에 위치한 것은 주장이고 오른쪽에는 근거를 썼습니다 이제 끝났습니다