변환을 사용해 삼각형 합동 SSS의 기준 증명하기

이번 시간에 다룰 내용은 대응하는 변의 길이가 같은 두 삼각형이 있다면 즉, 주황색 변의 길이가 같고 파란색 변의 길이가 같으며 회색 변의 길이가 같다면 합동의 강체변환 정의를 바탕으로 이 두 삼각형이 합동이라는 것을 추론할 수 있다는 것입니다 이를 증명하기 위해서 삼각형 ABC에서 DEF로 사상시키는 일련의 강체변환이 항상 존재한다는 것을 보여야 합니다 어떻게 하면 될까요? 무엇보다도 다른 영상에서는 길이가 같은 두 선분이 있으면 그들은 합동이라고 증명했었죠 강체변환을 이용하여 사상시킬 수 있습니다 AB를 ED로 사상시키는 일련의 강체변환을 해 봅시다 어떻게 할지 상상해 보세요 점 A를 평행이동합니다 좌측의 이 전체 삼각형이 평행이동될 것이므로 점 A는 점 E와 일치합니다 변 AB는 이쪽으로 움직입니다 이 방향으로 움직이고 이 점을 중심으로 회전시킵니다 A'이라고 부릅니다 따라서 이는 A'과 같습니다 회전을 하여 변 AB와 변 ED가 일치하도록 만듭니다 다른 강의에서 다루었죠 점 D는 점 B'과 같게 됩니다 여기서 점 D는 B가 사상된 점입니다 문제는 C가 어디있느냐입니다 점 C는 점 F가 되거나 혹은 다른 강체변환에 의하여 C에서 F가 될 수 있다는 것을 보일 수 있으면 증명이 끝납니다 일련의 강체변환과 함께 증명할 수 있습니다 이 삼각형을 다른 삼각형으로 사상시킬 수 있습니다 이 삼각형을 다른 삼각형으로 사상시킬 수 있습니다 점 C의 위치는 컴퍼스로 유용하게 증명할 수 있습니다 점 C는 점 A로부터 이만큼 떨어져 있습니다 컴퍼스로 측정합니다 거꾸로 해도 됩니다 점 C는 점 A로부터 이만큼 떨어져 있습니다 이는 점 C는 이 곡선상의 임의의 곳에 있어야 한다는 것을 의미합니다 여기 이 호 말이죠 이 호 위의 점들은 같은 거리만큼 떨어져 있습니다 완전한 원을 그릴 수도 있지만 여기까지만 그려봐도 됩니다 따라서 점 C는 C'이나 원 위의 다른 점으로 사상될 것입니다 A의 관점에서 말이죠 그것이 C가 A로부터 얼마나 떨어져있는지 나타내니까요 C가 B로부터 얼마나 떨어져 있는지도 알고 있습니다 컴퍼스를 다시 조정할게요 C는 B로부터 이만큼 떨어져 있습니다 따라서 B가 이 점으로 사상된다면 이 점이 B'이라면 이 점은 C가 곡선 위의 임의의 위치에 사상되는 C'이 됩니다 이 두 곡선을 조건으로 볼 수 있습니다 따라서 C'은 이 두 곡선 위에 위치합니다 또한 F도 여기에 위치하기 때문에 강체변환을 통하여 점 C와 F가 어디에 위치하는지 결정됩니다 증명되었습니다 강체변환이 존재합니다 다른 가능성은 변환을 통해 C'이 여기서 끝나는 것입니다 강체변환을 계속하기 위해서 어떻게 해야 할까요? C'이 F에서 끝난다는 것을 말이죠 기억하세요 다른 두 점은 E와 D로 일치되었습니다 따라서 C'이 F와 일치하도록 해야 합니다 한 가지 방법은 점 E가 C'과 F 각각으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있다면 이 두 변의 길이가 같다면 세 개의 작대기를 그릴게요 이 호의 반지름을 정의하기 위해서입니다 여기서 C'은 D와 F 사이의 거리만큼 떨어져 있습니다 이렇게 생각해볼 수 있습니다 F와 자를 이용하여 깔끔하게 그려볼게요 F와 C'를 잇는 직선이 있다고 해봅시다 이 경우는 C'은 F로 곧장 가지 않습니다 C'은 이쪽에서 끝납니다 C'과 F로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 점 E는 선분 FC의 수직이등분선입니다 D 혹은 B'도 마찬가지입니다 이 선분은 수직이등분선입니다 이 점은 F와 C'으로부터 같은 거리만큼 떨어져있기 때문이죠 이 점은 F와 C'로부터 같은 거리만큼 떨어져 있습니다 F와 C'으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 점들의 집합은 FC의 수직이등분선을 형성할 것입니다 따라서 주황색 직선이 FC의 수직이등분선인 것입니다 왜 이게 유용할까요? 이로부터 알 수 있는 것은 AB와 EF가 일치하도록 첫 번째 변환을 할 때 C'이 여기가 아닌 여기에서 끝난다면 변환을 하나만 더 추가하면 되기 때문이죠 ED 혹은 A'B'에 대한 반사를 하면 ED 혹은 A'B'에 대한 반사를 하면 이 주황색 직선에 대해 어떻게 보아도 C는 F와 일치할 것입니다 주황색 직선은 수직이등분선이기 때문이죠 이렇게 볼 수 있겠습니다 이 두 길이는 같습니다 이는 수직이등분선이므로 반사를 하면 C'는 F와 일치할 것입니다 반사는 강체변환이므로 이상적이네요