변환을 사용해 삼각형 합동 SAS의 기준 증명하기

이번 시간에 다룰 내용은 다른 두 삼각형이 있고 대응하는 두 변의 길이가 각각 같다면 예를 들어 두 파란색 선분은 길이가 같고 두 주황색 선분은 길이가 같습니다 그 두 변에 의해 만들어지는 각도가 있습니다 이 두 각은 서로 대응합니다 그 크기도 같습니다 여기서 생각해볼 것은 변, 각, 변입니다 대응하는 것끼리 그 크기가 같다면 이 두 삼각형은 합동의 강체변환 정의에 의하여 합동이라고 추론할 수 있습니다 간단히 표현하면 변(S), 각(A), 변(S)이 있고 각이 두 변 사이에 있다면 두 삼각형은 합동이라는 것입니다 이를 증명할 수 있으려면 이런 추론을 하려면 한 삼각형에서 다른 삼각형으로 사상시키고 변, 각, 변에 공통으로 존재하는 강체변환이 항상 존재해야 합니다 강체변환이 항상 존재해야 합니다 이것이 가능하도록 하는 일련의 강체변환이 있다면 강체변환 정의에 따라 두 삼각형은 합동이 됩니다 먼저 할 것은 주어진 정보를 다시 살피는 것입니다 길이가 같은 두 선분이 있습니다 선분 AB와 DE처럼 말이죠 길이가 같은 두 선분이 있다면 합동입니다 여러분은 항상 강체변환을 통해 한 선분을 다른 선분으로 사상시켰죠 이 경우에서는 점 B를 점 E로 사상시킵니다 따라서 여기에 B'을 둡니다 이렇게 변환을 하면 이렇게 변환을 하면 선분 BA는 주황색 선분의 끝에서 이렇게 됩니다 하지만 다른 변환도 있습니다 점 E 혹은 B'에 대하여 주황색 선분과 전체 삼각형을 회전시켜 DE로 오게끔 할 수도 있습니다 두 번째 강체변환을 하면 점 A는 D와 일치하게 됩니다 D = A'으로 표현할 수도 있습니다 여기서 질문입니다 C는 어디에 있게 될까요? A와 C 사이의 거리를 확인합니다 컴퍼스를 사용할게요 A와 C 사이의 거리는 이렇습니다 모든 강체변환은 크기를 보존하기 때문에 C가 처음 두 강체변환을 거쳐 사상되는 점인 C'은 A'으로부터의 거리가 똑같을 것입니다 따라서 C'은 이 곡선 어딘가에 존재합니다 강체변환은 각도의 크기를 보존합니다 따라서 사상시키면 각도의 크기가 보존됩니다 변 AC가 이 변으로 사상된다면 변 AC가 이 변으로 사상된다면 이 경우 F가 C'이 되고 SAS를 바탕으로한 강체변환을 구했으므로 두 삼각형은 합동입니다 하지만 각도가 보존되는 다른 경우도 있습니다 그러나 변 AC는 이렇게 사상됩니다 따라서 다른 경우는 변 AC가 강체변환에 의해 혹은 처음 강체변환의 집합을 통해 이렇게 된다는 것입니다 이렇게 됩니다 이 경우 C'은 여기로 사상됩니다 이 경우 강체변환 하나만 더 있으면 됩니다 DE 또는 A'B'에 대한 반사를 통해 점 C'을 반사시켜 이 점으로 가게끔 할 수 있습니다 C'이 F가 되는지 어떻게 알죠? 강체변환을 통해 각도가 보존되므로 이를 뒤집어서 DE에 대해 반사시키면 각도는 보존될 것입니다 그리고 A'C'은 DF로 사상될 것입니다 이상입니다 SAS 조건을 만족하면서 한 삼각형을 다른 삼각형으로 사상시키는 일련의 강체변환이 언제나 존재한다는 것을 증명하였습니다 따라서 합동입니다