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주요 내용
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선분의 합동은 같은 길이를 가지는 것과 같습니다.

동영상 대본

여기 몇 가지 정의들은 선분의 합동의 개념과 선분의 길이가 같다는 개념이 연결된다는 증거를 구하는데 아주 유용할 것입니다 우선 강체변환입니다 다른 시간에 설명을 드렸지만 상기시켜보죠 이는 점들 사이의 거리를 보존하는 변환을 말합니다 예를 들어 점 A, B가 있고 강체변환은 평행이동과 비슷합니다 이들을 평행이동하고 나면 점들 사이의 거리는 그대로이기 때문이죠 이렇게 됩니다 회전이 포함되어 있다면 A를 중심으로 회전시키면 길이는 변하지 않습니다 A와 B 사이의 거리는 그대로입니다 거울 속의 상처럼 똑같습니다 다시 한 번 A와 B 사이의 거리는 변하지 않습니다 강체변환이 아닌 것은 무엇일까요? 확대 혹은 축소같은 변환을 생각해볼 수 있겠죠 이는 길이를 변화시킵니다 따라서 어느 강체변환이든 점들 사이의 거리를 그대로 보존합니다 다른 개념은 합동입니다 이 영상에서 다룰 합동의 개념은 다음과 같습니다 두 도형이 합동이라는 것은 한 도형에서 다른 도형으로 사상시키는 일련의 강체변환이 존재한다는 것과 같습니다 후에 합동의 다른 정의를 보게 될 것이지만 이는 우리가 사용할 합동의 강체변환 정의입니다 이 두 정의를 이용하여 다음을 증명하세요 두 선분이 합동이라는 것은 두 선분의 길이가 같다는 것과 같습니다 공간을 확보하겠습니다 우선, 선분 AB가 선분 CD와 합동이라면 우선, 선분 AB가 선분 CD와 합동이라면 선분 AB의 길이는 참고로 AB 위에 막대 표시는 없습니다 선분 CD의 길이와 같다는 것을 증명해 봅시다 어떻게 해야 할까요? 먼저 파악해야 하는 것은 AB가 CD와 합동이면 AB가 CD와 합동이면 AB는 강체변환을 통해 CD로 사상된다는 것입니다 이는 합동의 정의에서 나왔습니다 이렇게 말할 수 있겠죠 변환이 강체변환이므로 거리가 보존됩니다 그래서 점들 사이의 거리가 똑같다는 것을 암시합니다 똑같다는 것을 암시합니다 AB, 즉 A와 B 사이의 거리 혹은 선분 AB의 길이는 선분 CD의 길이와 같습니다 이는 직관적일 것입니다 하지만 그게 다입니다 다른 것도 증명할 수 있는지 보죠 선분 AB의 길이와 선분 CD의 길이가 같다면 선분 AB의 길이와 선분 CD의 길이가 같다면 AB와 CD는 합동입니다 한 번 그려 봅시다 선분 AB가 여기 있고 길이가 같은 다른 선분은 이런 식일 것입니다 이것은 분명히 손으로 그린 것입니다 이 선분을 CD라고 합시다 이것을 증명하기 위해서는 다음을 보여주어야 합니다 길이가 같은 두 선분이 있다면 한 선분에서 다른 선분으로의 사상에는 항상 강체변환의 집합이 있다는 것 즉, 정의에 따르면 합동이라는 것을 말이죠 그 변환을 만들어 봅시다 첫 번째 강체변환은 선분 AB를 평행이동하여 점 A가 점 C 위에 있도록 즉, A가 C에 사상되도록 하는 것입니다 이에 대한 평행이동은 항상 존재합니다 이렇게 평행이동하면 점 B도 같이 이동합니다 이 평행이동 후 A는 여기 있게 되고 B는 여기 있게 됩니다 B는 여기 있게 됩니다 두 번째 단계는 AB를 A를 중심으로 회전시키는 것입니다 회전시키면 점 B가 반직선 CD 위에 있도록 말이죠 이 변환이 하는 것은 무엇일까요? 점 A가 회전의 중심이므로 첫 번째 평행이동을 통해 A는 점 C 위로 사상되고 그 후 점 B는 C에서 D로 가는 반직선 위에 있게 됩니다 C에서 D로 가는 반직선 위에 있게 됩니다 그 반직선에서 B는 어디에 있을까요? B와 A 사이의 거리가 D와 C 사이의 거리와 같고 A와 C는 같은 곳에 있으며 B는 D 위에 있게 됩니다 AB와 CD가 같기 때문이죠 이와 같이 B는 D로 사상됩니다 이와 같이 B는 D로 사상됩니다 선분의 길이가 같으면 한 선분에서 다른 선분으로 사상시키는 강체변환의 집합이 있다는 것을 보여주었습니다 따라서 A와 B가 C와 D로 사상되므로 선분 AB와 CD는 합동입니다 이상입니다 양쪽 모두 증명하였습니다