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증명: 마름모의 대각선은 수직이등분선이다

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사각형 ABCD는 마름모 입니다 여기서 우리가 증명해야 할 것은 이 대각선들이 서로 수직이고 AC와 BD가 서로 수직이라는 것 입니다 우리가 마름모에 대해 알고 있는 모든 것을 생각해 봅시다 첫째, 마름모는 평행사변형의 일종입니다 평행사변형에서 서로 마주 보는 변들은 평행이지요 따라서 변AD는 변BC와 평행이고 변 DC와 변AB도 평행이죠 마름모에서는 서로 마주 보는 변이 평행할 뿐만 아니라 모든 변의 길이가 같습니다. 따라서 AD=DC=BC=AB입니다 이 외에도 우리가 평행사변형의 대각선들에 대해 아는 것들이 있습니다 예를 들자면 우리는 모든 마름모는 평행사변형이지만 모든 평행사변형이 마름모는 아니라는 것을 알고 있죠 (마름모같은 특별한 경우를 포함한)모든 평행사변형의 대각선들이 서로를 이등분한다는 것을 압니다 예를 들어, 두 대각선의 교점을 E라고 두겠습니다 우리는 변AE의 길이가 EC와 같다는 것을 압니다 (길이가 같은변끼리 같은 기호로 표시해볼게요) 또한 변EB의 길이가 ED와 같다는 것을 압니다 누군가 사각형 ABCD가 마름모라고 했을 때 우리가 이미 알 수 있는 것은 앞서 말한 것이 끝입니다 이제 변AC가 변BD와 직교한다는 것을 증명 할 것입니다. 그냥 눈으로도 재미있게 증명할 수 있는 방법이 있습니다 만약 우리가 삼각형AEB가 삼각형CEB과 합동이라는 것과 각AEB와 각BEC가 서로 같음을 보인다면 서로 같은 각을 합쳐서 180도가 되므로 둘다 90도가 될 것입니다 그러니 증명을 해봅시다 제일 먼저 보이는 것은 변이 총 6개 있다는 것입니다 색을 바꿔서 써볼게요 삼각형 ABE가 삼각형 CBE와 합동임을 볼 수 있습니다. 세 변이 같으므로 SSS합동이죠 우리가 이 사실을 알면, 모든 대응각들의 크기가 서로 같음을 알 수 있습니다 특히, 우리는 각 AEB의 크기가 각 CEB와 같다는 것을 알게 됩니다 왜냐하면 그 둘은 합동인 두 삼각형에서 대응하는 각이기 때문이죠 긱BEC의 크기는 각BEA와 같을겁니다 또한 우리는 이 두 각을 합하면 180도가 된다는 사실을 압니다 정리하자면, 이 두 각의 크기는 서로 같고 두 각을 더하면 180도가 나옵니다 제가 같은 각을 2개를 가지고 있고 둘을 더해서 180도가 나온다면 어떻게 될까요? 그 말은 각 AEB와 각 CEB가 둘다 90도임을 의미합니다 둘다 각도가 같고 더하면 180도가 되죠 그러므로 둘다 직각이죠 각 AEB가 직각이므로 당연히 맞꼭지각인 각CED도 직각이죠 또한 각 BEC가 직각이므로 맞꼭지각인 각 AED도 직각이 될 것입니다 이제 대각선들이 서로 직교한다는 것을 알 수 있습니다 자 이제 증명을 끝낸거죠 꽤 흥미로운 것 같네요 평행사변형은 대각선들이 서로를 이등분 하고 (모든 변의 길이가 같은 평행사변형인)마름모에서는 대각선들이 서로를 이등분 할 뿐 아니라 서로를 수직 이등분 함을 증명한 것입니다.