증명: 평행사변형 대각의 크기

평행사변형에서 서로 마주 보는 대각의 크기가 같다는 것을 증명해 보겠습니다 예를 들어서 이 평행사변형에서 각 CAB 와 각 BDC가 같고 각 ABD와 마주보는 대각인 각 DCA의 크기가 같다는 것을 보여주겠습니다 먼저 우리는 평행사변형의 성질을 알아야 합니다 평행사변형은 서로 마주보는 두 변이 평행을 이루어 두 쌍의 평행선으로 이루어진 사각형을 말합니다 그럼 한 변의 길이를 연장해서 다른 변이 한쌍의 평행선을 가로지른다고 생각해 봅시다 여러분 혼자서 증명 연습을 해보는 것도 좋습니다 평행선의 엇각과 동위각의 성질만 알고 있으면 쉽게 증명할 수 있습니다 여기 있는 각을 한 번 볼까요? 노란색 말고 다른 색으로 표시하겠습니다 여기 있는 각 BDC에서 시작해 봅시다 제가 이렇게 표시한 이 각 BDC는 평행선의 성질에서 이 각의 엇각이 됩니다 이 변을 연장해서 점을 찍고 E라고 이름을 붙여 보겠습니다 그러면 각 CDB는 각 EBD와 엇각이므로 각의 크기가 같습니다 각 CDB와 각 EBD는 엇각이므로 크기가 같습니다 AB 또는 AE와 CD가 평행하기 때문에 이런 관계가 성립합니다 이번에는 조금 다르게 생각해볼까요 이제 여기서 BD와 AC의 관계를 봅시다 두 선 역시 평행하고 AB는 두 선을 가로지릅니다 그러므로 각 EBD와 각 BAC는 동위각이고 두 각의 크기가 같습니다 두 각은 동위각입니다 따라서 각 EBD와 각 BAC 각 EBD와 각 CAB는 동위각 관계로 크기가 같습니다 이 각이 여기 있는 각과 같다면 여기 있는 각도 저 각과 크기가 같습니다 그러므로 각 CDB는 각 BDC로 부를 수도 있고 크기는 각 CAB와 같아집니다 첫 번째 문제는 증명이 끝났습니다 이제 두 번째 문제를 증명해 봅시다 똑같은 원리를 사용하면 됩니다 먼저 평행선 AB와 CD를 AC가 가로지른다고 생각해 봅시다 이쪽 연장선에 점을 하나 찍고 이 점을 F라고 하겠습니다 이제 우리는 각 ACD가 각 FAC와 같다는 것을 알고 있습니다 두 각은 엇각이기 때문이죠 그리고 약간 다르게 생각해 봅시다 평행선 AC와 BD를 AB가 가로지른다고 보면 각 FAC와 각 ABD는 동위각으로 크기가 같습니다 각 FAC와 각 ABD는 동위각이고 서로 크기가 같습니다 처음에 평행선 AB와 CD를 AC가 가로지른다고 생각했는데 이제 AB가 평행선 BD와 AC를 가로지른다고 생각해보면 이 각과 이 각이 같으면 여기 있는 두 각도 서로 같다는 것을 알게 됩니다 그러므로 마주보는 두 각이 같다면 그 사각형은 평행사변형이고 평행사변형에서 마주보는 두 각의 크기는 같다는 것을 알 수 있습니다