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주요 내용
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증명: 반지름은 이를 이등분하는 현과 수직입니다.

동영상 대본

저번 동영상에선 두 개의 다른 삼각형이 있을 때 두 삼각형의 대응하는 변들의 길이가 같으면 sss (side=변)에 의해서 두 삼각형이 합동이란 걸 알 수 있었습니다 저는 공리와 가정에 대해서도 잠깐 이야기를 했습니다 하지만 확실하게 하고 싶네요 때때로 여러분들은 이것이 "sss 정리"라고 불리거나 "sss 공준 또는 공리"라고 불리는걸 들으실 겁니다 그리고 전 이것들의 의미를 구분할 가치가 있다고 생각합니다 공리나 공준은 여러분들이 있는 대로 받아들이는 것입니다 반면 정리는 기초나, 공준 또는 공리를 이용해 정리하는 것 입니다 실제로 모든 수학에서 여러분은 핵심 가정을 만듭니다 이 핵심 가정들을 공리 또는 공준이라고 부릅니다 공리(axiom) 또는 공준(postulate) 공리(axiom) 또는 공준(postulate) 그리고 이것들을 이용하여, 여러분은 정리를 증명하려 하죠 그래서 저걸 이용하면 전 여기 있는 정리를 증명할 수 있고 저건 저 정리에 사용될 것이고 그리고 이 공리로 여기 있는 또다른 정리를 증명할 수 있고 저 정리들을 동시에 이용해서 전 여기 있는 다른 정리를 증명할 수 있습니다 그림을 보셨을 겁니다 이 공리는 우리를 이 정리로 이끌어 줄 것이고 이 둘은 우리를 여기 있는 정리로 이끌어 줄 것이며 우리는 근본적으로 우리의 생각을 개발하거나 이 핵심 가정들을 사용한 수학을 개발하죠 기초 기하학 수업에선 우리는 sss 정리를 엄밀히 증명하지 않습니다 우리는 sss 정리를 엄밀히 증명하지 않습니다 이것은 많은 기하학 수업에서 여러분들이 그것을 공리나 공준으로써 받아들이는 이유입니다 그리고 제가 이것을 하는 이유는 첫째로, 여러분들이 정리와 공준 또는 공리의 차이점을 알았으면 합니다 또한 헷갈리지 않게 하기 위해서입니다 저는 많은 책들을 읽어 봤지만 책에서는 그것을 sss 정리라고 부릅니다 그것이 엄밀히 증명되지 않음에도 불구하고 말입니다 그들은 그저 받아들입니다 결국 그건 공리나 공준에 가깝습니다 이건 이제 넘어갑시다 우린 이것이 참인 걸로 알고 주어진 그대로 받아들일 겁니다 저는 이미 우리가 이것을 이용해서 쓰고 있다는 것을 보여주고 싶습니다 원이 하나 있다고 합시다 여기엔 우리가 할 수 있는 유용한 것들이 많이 있습니다 이 원은 A를 중심으로 가지고 있습니다 그리고 현 하나가 있다고 합시다 원 안에 있는, 지름이 아닌 현 말입니다 여기에 현을 하나 그려봅시다 원 안에 현을 하나 그려보죠. 원을 자르는 할선의 조각이라 할 수 있습니다 중심으로부터 이등분 되는 현이 있다고 합시다 저는 이걸 반지름이라고 부를 수 있습니다 왜냐하면 중심으로부터 원의 가장자리까지 연결하기 때문이죠 중심에서부터 원으로 이었습니다 제가 이걸 이등분한다는 것은 그저 문제를 만들고 있는겁니다 이걸 이등분 한다는 것은 선분을 반으로 나누는 것입니다 따라서 이것이 의미하는 건 이 활꼴의 길이와 여기 있는 활꼴의 길이와 같다는 것입니다 제가 하나의 원이 있다고 설정했습니다 이 반지름이 현을 이등분합니다 제가 증명하고 싶은건 반지름이 현을 직각으로 이등분한다는 겁니다 다르게 말하자면 여기 점 몇개를 추가해봅시다 이 점들을 점B, 점C, 점D라고 부릅시다 전 선분AB가 선분CD와 수직으로 만나다는 것을 증명하고 싶습니다 그리고 여러분들도 예상하시겠지만 전 증명에 상당히 많은 sss정리, 공리 또는 공준이라고 부르는 sss(정리)를 사용할 것입니다 이제 해봅시다,이렇게 한번 생각해볼까요? 예상하시겠지만 sss를 사용하려면 전 삼각형이 필요하겠지만 여기엔 삼각형이 없죠 하지만 전 삼각형을 그릴 수 있습니다 제가 알고 있는 것에 기초로 그릴 수 있습니다 예를 들어봅시다 여기엔 반지름이 있습니다 이것의 길이는 원의 반지름이겠죠 저는 여기에도 같은 걸 할 수 있죠 AC의 길이도 마찬가지로 원의 반지름입니다 따라서 우리는 원의 반지름인 두 선분의 길이가 같다는 것을 알 수 있습니다 또는 'AD와 AC는 합동이다' 라고 하거나 두 선분이 같은 길이를 가진다고 합니다 이 문제의 설정으로부터 우리는 이 문제의 설정으로부터 우리는 이 조각과 저 조각의 길이가 같다는 걸 알 수 있습니다 여기에 점을 추가해서 나타낼 수 있도록 하겠습니다 그래서 만약 제가 이 점을 E라고 부르면 우리는 이 문제의 설정으로부터 CE는 ED와 합동 또는 같은 길이를 가진다는 걸 알 수 있습니다 CE는 ED와 같은 길이를 가집니다 그리고 우린 이 두 삼각형 왼쪽에 있는 삼각형과 오른쪽에 있는 삼각형이 모두 변 EA를 사용하므로 변EA는 변EA와 같습니다 이건 자기 자신과 완벽히 같습니다, 같은 변이에요 같은 변이 양쪽 삼각형에 사용된겁니다 삼각형들은 서로 인접해 있습니다 상황을 보면 우리는 두 개의 다른 삼각형을 가지고 있고 그들은 같은 변들을 가지고 있습니다 이 변은 여기 있는 이쪽 변과 같고 이 변은 저기 있는 변과 길이가 같습니다 그리고 명백히 변AE는 길이가 같습니다 두 삼각형 변입니다 그건 양쪽 삼각형에 서로 대응하는 변입니다 따라서 sss(정리) 에 의해서 삼각형 ABC 삼각형 ABC는 삼각형 AE.. 죄송합니다, ABC가 아니라 AEC에요 미안합니다 여기에 적는 게 낫겠군요 sss에 의해 우린 삼각형 AEC 삼각형AEC가 삼각형 AED와 합동이라는 걸 알 수 있습니다 근데 그것이 무슨 도움이 될까요? 우린 (sss)정리를 사용했지만 그게 여기서 어떻게 우리를 돕는걸까요? 여기서 멋진 건 두 삼각형이 서로 합동이란 겁니다 두 삼각형이 합동이라는 것은 모든 각이 같다는 것을 의미합니다 그리고 특히 여기 있는 이 각 각 CEA의 크기가 각DEA와 크기가 같다고 추론할 수 있습니다 이것이 유용한 이유는 이렇게 보면 알다시피 그들이 서로 보각이기 때문입니다 그들은 인접한 각이고 바깥 변이 평각을 이룹니다 따라서 CEA는 DEA와 보각이며 크기가 같습니다 그들은 보각 입니다. 우리는 각 CEA의 크기와 각 DEA의 합이 180도가 된다는 걸 알 수 있습니다 그런데 그들은 서로 같기 때문에 각DEA의 크기를 각CEA의 크기로 대신할 수 있습니다 아니면 저는 이 식을 각 CEA의 2배는 180도와 같다고 쓸 수 있습니다 또는 식의 양변을 2로 나눠서 각 CEA크기는 90도와 같다고 할 수 있습니다 각 DEA 와 같은 크기 입니다 그들은 같기 때문이죠 따라서 우리는 각의 크기가 90도인 걸 알 수 있고 조금 더 진하게 칠해봅시다 여기 있는 각의 크기도 90도입니다 AB가 CD와 교차하는 각이 90도이므로 두 부분이 서로 수직이라는 것을 증명할 수 있습니다