라디안이란?

여러분들은 각도를 60분법으로 측정하는 일에 익숙해져 있을 것입니다 일상생활에서도 흔히 쓰는 표현이기도 하죠 화면에 몇 가지 예를 나타내 봅시다 이 정도 크기의 각도를 보면 여러분들은 이것을 30˚라고 할 것이고 이정도 크기의 각을 본다면 90˚라고 할 것입니다 이 경우엔 특별히 다음과 같은 기호를 쓰기도 합니다 180˚를 표현하기 위해선 단순히 직선 하나를 그리는 것으로 충분합니다 360˚는 1바퀴를 돈 것을 의미하므로 다음과 같이 나타냅니다 여러분이 올림픽의 피겨스케이팅을 본다면 누군가가 턴을 도는 장면에서 해설자가 '360을 해냈습니다'라고 하는 것을 듣게 될 것입니다 아니면 스케이트보딩 대회 같은 종목에서도 들을 수 있습니다 한 가지 짚고 넘어가자면, 지금까지 말한 내용으론 잘 이해되지 않으시겠지만, 60분법은 순전히 인간의 편의에 의해 정해진 것입니다 그러므로 각도를 나타내는 방법도 이 방법만 있는 것이 아닙니다 생각해 보십시오 왜 굳이 한 바퀴를 360˚로 표현하게 되었을까요? 여기에 대해선 몇 가지 가설이 있습니다 여러분들은 이 가설들에 대해 생각해 보시기 바랍니다 왜 한 바퀴는 360˚일까요? 두 가지 가설들을 소개해 드리겠습니다 하나는 고대의 달력입니다 현대의 달력과 비슷하게도 고대의 달력은 1년을 360일로 나눴습니다 고대의 천문학자들은 천체들이 하루에 하늘의 1/360씩 움직인다는 것을 관측했습니다 다른 이론은 고대 바빌로니아인들이 정삼각형을 좋아했고 60진법을 사용했기 때문이라는 것입니다 우리는 10개의 숫자를 쓰지만 그들은 60개의 숫자를 썼습니다 우리는 10개의 숫자를 쓰지만 그들은 60개의 숫자를 썼습니다 우리는 10을 기반으로, 그들은 60을 기반으로 계 산합니다 우리는 10을 기반으로, 그들은 60을 기반으로 계산합니다 우리는 숫자를 10으로 나누는 일을 많이 하지만 그들은 숫자를 60으로 나눴을 것입니다 즉, 원이 하나 있을 경우 내부를 정삼각형 6개로 나눌 수 있고 60진법을 사용했으므로 각 정삼각형을 60개의 구간으로 나눠 총 360도를 얻었을 것입니다 이 강의를 통해 새로운 각도 표현법을 소개해 드릴 테니 이에 대해 생각해 보시기 바랍니다 기존의 방법에 비해 직관적이지는 않으나 이 방법은 60분법보다는 더 수학적으로 의미있습니다 이 방법은 60진법을 쓰던 문화적 배경이나 천문학적 규칙성 때문에 생긴 것이 아닙니다 60분법이 천문학적 관측에 의해 정해진 것이라면 다른 행성에 사는 외계인은 이 단위를 쓰지 않을 것입니다 하지만 새로 소개해 드릴 라디안이란 단위는 그곳에서도 쓰일 것입니다 라디안은 수학적 근거를 가지고 만들어졌기 때문입니다 이제 본론으로 들어가 라디안이 무엇인지 살펴보겠습니다 하지만 그 전에 우선 여기에 원을 하나 그리겠습니다 여기가 원의 중심입니다 이 길이는 원의 반지름입니다 눈치채셨겠지만 반지름을 의미하는 단어 'radius'는 라디안(radian)과 매우 유사합니다 여기에는 이유가 있습니다 이 원의 반지름의 길이가 r이라 합시다 이제 원의 중심을 기준으로 각을 하나 그리겠습니다 이 각의 크기를 세타라 하겠습니다 이제 라디안에 대한 논의를 위해 다음과 같은 생각을 해봅시다 새로 정의될 각의 단위는 주어진 각이 만드는 호의 길이와 밀접한 관련이 있도록 설정되어 있습니다 이는 매우 색다른 전제입니다 즉, 주어진 크기의 각과 그에 대응되는 호 사이의 관계가 중요한 것입니다 호는 원이 주어진 각과 만나는 두 교점 사이를 원을 따라 움직인 거리입니다 즉 이 호는 각 세타에 대응됩니다 여기에 보이는 하나의 호는 하나의 각 세타에만 대응됩니다 이제 호의 길이가 반지름과 같아질 수 있도록 각을 설정했다고 합시다 즉, 호의 길이는 r이 될 것입니다 이 상태에서 새로운 각도 단위인 라디안을 정의한다고 합시다 주어진 각도를 몇 라디안으로 정의하는 것이 합리적일까요? 라디안이 반지름을 뜻하는 영어단어와 발음이 비슷하다는 것을 떠올려 봅시다 이 각은 1반지름 길이의 호를 만들었다고 할 수 있습니다 그러므로 이 각을 1라디안이라고 부르는 것이 합당할 것입니다 즉, 원이 있고 1라디안에 해당하는 각이 있을 경우 그 각이 만드는 호는 반지름의 길이와 같을 것입니다 이 단위는 다양한 크기의 원을 놓고 생각하면 매우 유용하게 느껴집니다 도 단위로 표현할 경우, 주어진 각이 만드는 호가 반지름의 몇 배인지 알기 위해서는 약간의 수학적 계산과 원주에 대한 고찰이 필요합니다 하지만 라디안은 각에 대응하는 호의 길이를 직관적으로 알려줍니다 지금부터 2가지 사고 실험을 해보겠습니다 먼저 라디안 단위로 각도를 측정해 보겠습니다 설명을 위해 여기에 원을 그리겠습니다 여기가 원의 중심이므로 여기에서 시작해 보겠습니다 만약에 제가 다음과 같은 각도를 라디안 단위로 측정한다면 얼마가 될까요? 호가 반지름 길이의 몇 배인지를 생각하십시오 각은 얼마일까요? 한바퀴 도는 것을 도 단위로 표현하면 360˚가 될 것입니다 라디안의 정의를 생각했을 때, 이 각은 몇 라디안일까요? 우선 각에 대응되는 호를 생각합시다 대응되는 호는 이 원의 원주 둘레 전체입니다 그렇다면 원주는 반지름의 몇 배일까요? 반지름의 길이가 r이라고 할 경우 원주의 길이는 몇 r일까요? 우리는 이미 이 값이 2πr임을 알고 있습니다 다시 한 번, 이 각에 대응되는 호의 길이가 반지름의 몇 배인지를 생각해 봅시다 답은 2π배일 것입니다 원주는 2π에 r을 곱한 것이니 말입니다 이 각의 크기를 x라고 한다면 앞에서의 결론에 의해 x는 이 경우 2π 라디안이 될 것입니다 그리고 이 각은 반지름의 2π배인 호에 대응될 것입니다 반지름의 길이가 1이라면 호의 길이는 2π가 될 것입니다 이제부터 이 정보들을 가지고 라디안 단위와 도 단위 사이의 변환에 대해 생각해 봅시다 다시 아까의 원으로 돌아갑시다 한 바퀴를 돌았을 때의 각의 크기는 2π 라디안이었습니다 이는 몇 도일까요? 이미 알고있듯 한바퀴는 360˚입니다 60분법을 나타낼 때는 윗첨자 기호를 붙여도 충분하지만 여기서는 2가지 단위에 대한 비교를 하고 있다는 점을 강조하기 위해서 숫자 뒤에 '도'를 적겠습니다 식을 쉽게 만들기 위해 양변을 2로 나누겠습니다 좌변의 경우는 π라디안이 되고, 우변은 180˚가 됩니다 마찬가지로 윗첨자로 나타내지 않고 '도'라고 쓰겠습니다 위의 그림에 보이는 각이 180˚입니다 여기에 원을 그린다고 생각하면 이 각은 원의 절반만 돈 것입니다 즉, 각에 대응되는 호의 길이는 원주의 절반입니다 원주의 반은 반지름의 π배입니다 그러므로 이것을 π라디안이라 부릅니다 즉 π라디안은 180˚입니다 이를 통해 두 단위 사이의 변환이 가능해졌습니다 그럼 1라디안은 몇 도일까요? 이 질문의 답은 단순히 양변을 π로 나눔으로써 얻을 수 있습니다 먼저 좌변의 값은 1라디안이 될 것입니다 이제 우변도 π로 나눌 차례입니다 그 전에 제가 하는 계산을 명확히 하기 위해서 다음과 같이 명시하겠습니다 좌변의 값은 1라디안이 됩니다 우변의 값을 계산하면 180/π˚가 됩니다 즉 1라디안은 180/π˚인 것입니다 이제 두 단 위를 자유자재로 변환할 수 있게 되었습니다 그럼 질문을 바꿔서, 1도는 몇 라디안에 해당할까요? 위에서 만들어 놓은 식에서 유도해 보도록 합시다 π라디안은 180˚입니다 우리는 이제 1도에 대해 알아보려 합니다 이제 식을 정리해봅시다 양변을 180으로 나누면 될 것입니다 π/180라디안이 1˚와 같다는 결론을 얻었습니다 즉 π/180라디안은 1˚입니다 아마 매우 헷갈리실 것입니다 일상생활에서 접하기 힘든 내용이라 저도 맨 처음 이 이론을 접했을 때 그랬습니다 하지만 2π라디안이 360˚, 즉 π라디안이 180˚라는 점을 숙지하고 있으면 앞으로 문제를 풀 때 큰 어려움은 없을 것입니다 우리는 언제든 이 2개의 식을 쉽게 유도할 수 있을 것입니다 π/180를 곱해야 할지 180/π을 곱해야 할지 헷갈린다면 2π라디안이 360˚라는 식을 떠올리시기 바랍니다 다음 강의에서는 여러 문제들을 풀어보며 단위를 변환하는 연습을 해보도록 하겠습니다