호, 비, 라디안

확대/축소된 원과 부채꼴

비에 대한 근거

주장

1. 원 2를 확대한 것이 원 1입니다.

   어떻게 알 수 있나요?

   모든 원은 닮음입니다! 한 번의 확대로 다음을 알 수 있습니다:

   • 하나의 원의 중심을 다른 원으로 이동시켜봅시다.
   • 원의 중심부터 원 위의 점들까지의 거리의 비를 ${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$‍로 나타내 봅니다.
2. 원 1과 원 2의 비율은 $k$‍이고, 따라서 $r_2=k{r}_1$‍입니다.

   어떻게 알 수 있나요?

   확대/축소는 그 비율에 따라 반지름을 포함한 모든 길이에 변화를 줍니다.
3. 원 1의 호의 길이는 ${\ell }_1={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1$‍입니다.

   어떻게 알 수 있나요?

   원 1의 원주는 $2\pi r_1$‍입니다.

   호의 각 각도는 전체 원주의 ${\displaystyle \frac{1}{360}}$‍을 통과합니다. 호의 길이는 $\theta \mathrm{°}$‍를 나타냅니다.

   따라서 호의 길이는 ${\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1$‍입니다.
4. 같은 이유로 원 2의 호의 길이는 ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_2$‍입니다.
5. 대입하면 ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi k{r}_1$‍으로 다시 나타낼 수 있습니다.
6. 따라서 ${\ell }_2=k{\ell }_1$‍입니다.

   어떻게 알 수 있나요?

   호의 길이 ${\ell }_1$‍에 대한 식은 이미 찾았습니다. 곱셈의 교환법칙을 사용하여 더 쉽게 찾아봅시다.

   $\begin{array}{rl}{\ell }_2& ={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi k{r}_1\\ \\ & =k\cdot {\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\cdot 2\pi r_1& \text{교환법칙}\\ \\ & =k{\ell }_1& \text{대입}\end{array}$‍

   이 방정식이 의미하는 것은 무엇인가요?

   호의 길이 ${\ell }_2$‍은 호의 길이 ${\ell }_1$‍의 $k$‍배입니다.

   ${\ell }_1$‍과 ${\ell }_2$‍가 곡선의 길이이지만 반지름처럼 직선인 선분들의 비와 같은 비를 가지고 변화합니다!
7. 결론적으로, ${\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}$‍입니다.

   어떻게 알 수 있나요?

   ${\displaystyle \frac{k}{k}}$‍를 곱하는 것은 $1$‍을 곱하는 것과 같습니다. 따라서 이것은 식의 값을 바꾸지 않습니다.

   $\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}& =1\cdot {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k{\ell }_1}{k{r}_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}\end{array}$‍

정리하기

새로운 비율과 각의 크기를 측정하는 새로운 방법

라디안을 설명하는 더 많은 방법

각도 대신 라디안을 쓰는 이유는 무엇인가요?