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원주각 정리 증명

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제가 이 강의에서 하고자 하는 것은 기하학적으로 굉장히 유용한 결과를 증명하는 것인데, 바로 원주각에 관한 내용입니다 원주각은 각의 꼭지점이 원주 위에 위치한 각을 말합니다 즉, 이런 각이 원주각입니다 이 각을 𝜓라고 두겠습니다 지금부터 이 강의에서 원주각은 𝜓를 이용해서 표시하겠습니다 이 𝜓는, 즉 원주각은 중심각의 크기의 정확히 2분의 1의 크기를 가집니다 이상한 말을 좀 쓰겠지만 여러분들은 다들 알아들을 거라고 생각합니다 그러니까 이것이 𝜓입니다 즉 원주각입니다 그리고 이 각의 꼭지점은 원주 위에 있습니다 그리고 이 각을 연장하는 두 개의 직선을 그린다면 다르게 말하면 이 각을 정의하는 두 직선을 그리면 반대쪽에서 원주와 만납니다 그리고 그 교점 사이에 있는 원주의 일부가 보인다면 그것은 𝜓에 대응하는 원의 호입니다 단어는 다들 복잡한 단어들이지만, 개념은 상당히 간단한 개념입니다 단지 이 부분이 𝜓에 대응하는 호이고 𝜓는 바로 이 원주각입니다 그리고 이 각의 꼭지점은 원주 위에 있습니다 또한, 중심각은 꼭지점이 원의 중심에 위치한 각입니다 그러니까 여기쯤이라고 해봅시다 -- 대충 눈짐작으로 정했습니다-- 이제 저 지점이 원의 중심입니다 그럼 이제 아까 원주각과 같은 호에 대응하는 중심각을 그려 보겠습니다 이 각이 같은 호에 대한 중심각입니다 이런 식으로 이 각을 𝛳라고 해 봅시다 그러니까 이 각은 𝜓이고, 여기 이 각은 𝛳입니다 제가 이 강의에서 증명하고 싶은 것은 𝜓가 항상 𝛳의 2분의 1이 된다는 것입니다 즉 예를 들어 제가 여러분들에게 𝜓를 25°라고 한다면 여러분들은 𝛳가 반드시 50°가 되어야 한다는 사실을 바로 알 수 있을 것입니다 아니면 제가 𝛳가 80°라고 말한다고 해도 여러분들은 바로 𝜓가 40°라는 것을 알 것입니다 그럼 이것을 증명해 봅시다 이건 분명히 해두겠습니다 시작하기 좋은 지점이나, 제가 시작하려고 하는 곳은 특별한 경우입니다 제가 지금 원주각을 하나 그릴 것인데 그 중에서도 한 현이 원의 지름으로 정의되는 각을 그릴 것입니다 이것은 일반적인 경우가 아닙니다 아주 특별한 경우입니다 그러니까, 바로 이쯤이 원의 중심이 될 것이고 눈대중으로 찍고 있는 것입니다 여기가 원의 중심인 것 같군요 그리고 이제 지름을 그리겠습니다 이것이 이 원의 지름입니다 이제 원주각을 정의해 보겠습니다 지름이 한쪽 변이고 다른 변은 예를 들어 이렇게 생겼다고 합시다 이 각을 𝜓라고 하겠습니다 이 각이 𝜓이면, 여기 이 길이는 반지름입니다 이 원의 반지름이지요 그러면 이 부분의 길이도 또한 반지름이 될 것입니다 중심에서부터 원주에 이르는 거리이기 때문이죠 원주는 원의 중심에서부터의 거리가 반지름만큼 떨어져 있는 모든 점들의 집합으로 정의됩니다 따라서 이것도 반지름입니다 이제 이 삼각형은 이등변삼각형입니다 같은 길이를 가진 두 변으로 이루어져 있으니까요 저 두 변의 길이는 정확히 같습니다 그리고 우리는 두 변의 길이가 같으면 두 밑각 또한 같다는 사실을 알고 있습니다 그래서 이 각도 𝜓와 같습니다 삼각형이 이렇게 기울어져 있어서 알아채지 못할 수도 있습니다 하지만 저는 여러분들 대부분이 이런 삼각형을 볼 때 제가 이 변도 반지름이고, 저 변도 반지름이라고 말해서 이 두 변이 같다는 것을 알고, 이 각은 𝜓라는 것을 알면 이 각 또한 𝜓라는 것을 알 수 있을 것이라고 생각합니다 이등변삼각형의 두 밑각은 크기가 같습니다 그래서 이 각이 𝜓이면 저 각도 𝜓입니다 이제 중심각을 봅시다 이 각이 같은 호를 공유하는 중심각입니다 두 각이 공유하고 있는 호를 색칠하겠습니다 이것이 두 각이 공유하고 있는 호입니다 그러면 이 각이 중심각이 될 것이고, 𝛳라고 해 봅시다 이 각이 𝛳라면 이 각은 무엇일까요? 여기 있는 이 각 말입니다 이것은 𝛳의 보각입니다 즉 180°에서 𝛳를 뺀 값입니다 두 각을 더해서 180°가 된다면 혹은 두 각이 직선을 만든다면 그 두 각은 보각 관계에 있습니다 또한 우리는 이 세 각이 같은 삼각형 안에 위치한 것을 알 수 있습니다 그래서 이 각들의 합은 180°가 되어야 합니다 그럼 𝜓를 구할 수 있는 것이, 이 𝜓와 이 𝜓를 더하고 180°-𝛳인 이 각을 더하면 이 세 각의 합은 반드시 180°입니다 삼각형의 세 각이기 때문입니다 양 쪽의 180은 소거시킬 수 있습니다 그러면 𝜓+𝜓-𝛳 가 0이 됩니다 양변에 𝛳를 더합시다 2𝜓는 𝛳와 같다는 결과를 얻을 수 있습니다 양변에 2분의 1을 곱하거나 2로 나누어 보세요 그럼 𝜓는 𝛳의 2분의 1이라는 것을 알게 될 것입니다 여기까지 우리는 증명을 쉽게 하기 위해 원주각을 특수한 상황에서 설정하고 그 상황에 대해서 원주각의 성질을 증명했습니다 이 때 이 직선 중 하나가, 이 선을 직선으로 본다면, 원주각을 정의하는 이 직선 중 하나가 지름을 포함하도록 정의했습니다 지름이 이 직선의 일부인 것이죠 따라서 이 경우는 각의 한 변이 지름 위에 있는 특수한 상황입니다 그럼 일반화시킬 수 있겠네요 이제 우리는 이 각이 50°라면 이 각은 100°가 된다는 것은 압니다 𝜓가 무엇이든, 또는 𝛳가 무엇이든 𝜓는 𝛳의 2분의 1이 될 것이고, 뿐만 아니라 𝜓가 무엇이든 간에 𝛳는 𝜓의 2배일 것입니다 그리고 이제 이 성질은 언제나 적용할 수 있습니다 이 개념은 언제든지 적용할 수 있습니다 그리고 방금 얻은 결과를 적용해서 이제는 좀 더 일반화시킬 수도 있습니다 모든 원주각에 적용되지는 않는다고 해도 말입니다 이렇게 생긴 내접각이 있다고 합시다 이 상황에서는 원의 중심이 원주각의 안쪽에 위치해 있습니다 이것이 원주각입니다 그리고 저는 같은 호를 공유하는 이 원주각과 중심각 사이의 관계를 찾으려고 합니다 이 각이 같은 호를 가지는 중심각입니다 그런데, 이 각을 정의하는 꼭지점이나 현 중에는 지름을 포함하는 것이 없습니다 하지만 우리는 지름을 그릴 수는 있습니다 원의 중심이 두 현 사이에 있으면 지름을 그릴 수 있습니다 바로 이렇게 지름을 그릴 수 있습니다 만약 이렇게 지름을 그리고 나서 이 각을 𝜓₁, 이 각을 𝜓₂라고 정의하면 𝜓는 이 두 각을 더한 값과 같습니다 또 이 각을 𝛳₁이라고 하고, 이 각을 𝛳₂라고 합시다 그럼 아까의 결과를 통해 바로 알 수 있는 것이 있습니다 이제는 이 두 각 모두 한쪽 변이 지름이기 때문에 𝜓₁은 𝛳₁의 2분의 1이라는 것을 알 수 있습니다 그리고 𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1이라는 것도 알 수 있습니다 𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1입니다 따라서 𝜓는, 𝜓₁과 𝜓₂를 더한 값이므로 이 두 개의 합과 같을 것입니다 𝛳₁의 2분의 1과 𝛳₂의 2분의 1을 더한 값이죠 𝜓₁ 더하기 𝜓₂, 이것은 우리가 알고자 하는 처음 원주각인 𝜓와 같습니다 이게 𝜓이고 그리고 여기 이건 𝛳₁과 𝛳₂를 더한 값의 2분의 1과 같습니다 그럼 𝛳₁ 더하기 𝛳₂는 무엇인가요? 이것도 처음에 설정한 원래 𝛳값과 같을 것입니다 그러면 이제 𝜓가 𝛳의 2분의 1이라는 것을 알 수 있습니다 이제 우리는 원의 중심이 원주각을 정의하는 두 직선 사이에 있는 상황을 가정하여 좀 더 일반적인 경우에 대하여 증명을 마쳤습니다 아직 우리는 좀 더 어려운 경우나 더 일반적인 상황은 다루지 않았습니다 예를 들어 이것이 원의 중심이고 이 중심이 원주각의 두 현 사이에 위치하지 않는 상황을 생각해 보세요 이 상황을 그려보겠습니다 그럼 이것이 꼭지점이 될 것이고, --색깔을 바꾸겠습니다-- 이것은 각을 정의하는 현 중의 하나라고 합시다 이렇게 말이죠 그리고 이것이 각을 정의하는 다른 현이라고 합시다 그러면 어떻게 이들의 관계를 찾을 수 있을까요? 여기 있는 이 각을 𝜓₁이라고 부르기로 합시다 𝜓₁과 같은 호를 공유하는 중심각과의 관계는 어떻게 찾아야 할까요? 제가 같은 호라고 얘기하는 것은 여기 있는 이 호를 말하는 것입니다 그러면 같은 호를 가지는 중심각은 이렇게 생겼을 것입니다 이것을 𝛳₁이라고 합시다 우리가 할 수 있는 것은 방금 전에 배운 원주각의 한 현이 지름일 경우를 사용하는 것입니다 한 번 사용해 봅시다 여기에 지름을 그리겠습니다 증명할 결과는 이 각이 이 각의 2분의 1이라는 것입니다 증명해 봅시다 이렇게 지름을 그려 봅시다 이 각을 𝜓₂라고 부릅시다 그리고 이 각은 여기 있는 이 호에 대응하네요 좀더 어두운 색깔로 하겠습니다 이 각은 바로 이 호에 대응합니다 그리고서 이 호를 같이 가지는 중심각을 𝛳₂라고 부릅시다 이제 우리는 강의의 앞 부분에서 배웠듯이 𝜓₂가 𝛳₂의 2분의 1이라는 것을 압니다, 맞죠? 이 각들은 여기 있는 이 지름을 공유합니다 그리고 이 지름은 각을 형성하는 현 중에 하나입니다 따라서 𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1과 같습니다 이게 바로 저번 강의에서 한 내용입니다 이 각이 원주각이고 현 중의 하나가 지름 위에 있으니까 이 각, 즉 같은 호를 가지는 중심각의 2분의 1이 되는 것입니다 이제 더 큰각을 봅시다 여기 있는 이 각을 말하는 겁니다 𝜓₁ 더하기 𝜓₂ 그렇죠, 이 큰 각은 𝜓₁ 더하기 𝜓₂입니다 다시 한 번, 이 각은 여기 있는 현 전체를 가지고 그리고 이 큰 각을 정의하는 현 중 하나가 지름을 포함합니다 그래서 이 각은 같은 호를 가지는 중심각의 2분의 1이 될 것입니다 우리는 우리가 전에 이미 증명한 내용을 그저 사용만 하고 있습니다 그러니까 이 각은 𝛳₁과 𝛳₂를 더한 것인 이 큰 중심각의 2분의 1과 같습니다 그럼 이제 이 강의에서 배웠던 모든 것들을 다 사용해 봅시다 우리는 이미 𝜓₂가 𝛳₂의 2분의 1과 같다는 것을 압니다 그럼 이걸 여기 대입해 보겠습니다 이것은 저것과 동일합니다 그러면 𝜓₁ 더하기 제가 𝜓₂라고 적은 것 대신에 𝛳₂의 2분의 1을 한 것이 𝛳₁의 2분의 1 더하기 𝛳₂의 2분의 1과 같습니다 양변에서 𝛳₂의 2분의 1을 소거할 수 있고 이제 결과를 얻었습니다 𝜓₁은 𝛳₁의 2분의 1과 같습니다 그럼 이제 끝났습니다 우리는 원주각이 항상 같은 호를 가지는 중심각의 2분의1이라는 관계를 증명했습니다 이것은 원의 중심이 각의 내부에 있든지 외부에 있든지, 각의 한 현이 지름 위에 위치하든지 아니든지 관계 없이 성립합니다 그래서 어떤 다른 각도 우리가 지금 한 상황들 중에 맞춰서 적용할 수 있을 것입니다 여러분들이 이 관계가 유용하다는 것을 알기 바랍니다 그리고 이제 이 결과를 이용해서 더 흥미로운 기하학적 증명을 할 수 있을 것입니다