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고등학교 기하학

코스: 고등학교 기하학 > 단원 9

단원 7: 원주각
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원주각
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원주각 정리 증명

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원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반이라는 것을 증명합니다.

시작하기

증명하기 전에, 원에 대한 까다로운 용어들을 이해하고 넘어갑시다.
여기 여러분 스스로 용어를 구할 수 있는지 확인해보는 간단한 게임이 있습니다.
그림을 이용하여, 변수와 용어를 짝지으세요.

좋습니다! 이 용어들을 계속 사용할 것입니다.

증명하고자 하는 것

원주각left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis과 중심각left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis이 같은 호를 공유할 때, 발생하는 멋진 일에 대해 증명하려고 합니다: 중심각의 크기는 원주각의 두 배입니다.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

증명

모든 (위에서 정의한) start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff와 start color #11accd, \psi, end color #11accd에 대하여, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd를 증명하기 위해, 다음 세 가지 경우를 고려해야 합니다:
경우 A경우 B경우 C
이 경우들은 원주각과 중심각이 같은 호를 공유하는 모든 상황을 설명 가능하다는 것을 함께 살펴봅시다.

경우 A: 지름은 원주각(start color #11accd, \psi, end color #11accd)을 이루는 직선 중 하나에 놓여 있습니다.

단계 1: 이등변삼각형 나타내기

start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline와 start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline는 둘 다 반지름이므로, 길이가 같습니다. 이는 triangle, C, B, D가 이등변삼각형이고, 양 끝의 각이 동일하다는 뜻입니다.
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

단계 2: 평각 나타내기

angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39은 평각이므로,
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

단계 3: 방정식을 만들어 start color #11accd, \psi, end color #11accd 구하기

triangle, C, B, D의 내각은 start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd, left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis이고, 어떤 삼각형이든 내각의 합이 180, degrees라는 것을 알고 있습니다.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
좋습니다. 경우 A에 대한 증명이 끝났습니다. 두 경우만 남았습니다!

경우 B: 지름은 원주각 start color #11accd, \psi, end color #11accd을 이루는 두 직선 사이에 있습니다.

단계 1: 영리하게 지름 그리기

지름을 이용하여, 다음과 같이 start color #11accd, \psi, end color #11accd를 start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd와 start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd로, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff를 start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff과 start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff로 나누어 봅시다:

단계 2: 경우 A에서 배운 방식으로 두 방정식 세우기

그림에서, 지름은 원을 두 부분으로 나눕니다. 각 부분에서 지름은 원주각을 이루는 직선 중 하나입니다. 이는 경우 A와 같은 상황이므로,
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
그리고
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
경우 A에서 이렇게 배웠기 때문입니다.

단계 3: 방정식 더하기

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2(1)과 (2) 더하기(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)동류항θ=2ψθ=θ1+θ2, ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{(1)과 (2) 더하기} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{동류항} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{, } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
경우 B도 끝났습니다. 하나 남았습니다!

경우 C: 지름은 윈주각을 이루는 직선 밖에 있습니다.

단계 1: 영리하게 지름 그리기

지름을 이용하여, 두 각을 새로 만들어 봅시다: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10:

단계 2: 경우 A에서 배운 방식으로 두 방정식 세우기

경우 B와 마찬가지로, 경우 A처럼 만들기 위해 도형을 새로 구성하였습니다. 이 도형에 따르면:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

단계 3: 대입하고 단순화하기

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
끝났습니다! 세 가지 경우에서 start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd를 증명하였습니다.

요약

중심각과 원주각이 같은 호를 공유할 때, 중심각은 원주각의 두 배라는 것을 증명하기 위해 여러가지 경우를 고려하였습니다.
세 경우에 대한 증명을 시작하였습니다. 이 경우들은 원주각과 중심각이 같은 호를 공유하는 모든 상황을 설명 가능합니다.
경우 A경우 B경우 C
경우 A에서, 이등변삼각형과 평각을 나타내었습니다. 이로부터, start color #11accd, \psi, end color #11accd와 start color #7854ab, theta, end color #7854ab를 이용하여 방정식을 세웠습니다. 대수학을 이용하여, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd를 증명하였습니다.
경우 B와 C에서, 지름을 영리하게 그렸습니다:
경우 B경우 C
경우 A에서 나온 결과를 통해 이것이 가능하게 되었습니다. 경우 B와 C에서, 경우 A에서 배운 내용만을 이용하여 그림과 관련된 방정식을 세웠습니다. 방정식을 세운 후, 대수학을 통해 start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd를 보였습니다.