도형 작도하기: 원의 접선 (예제 2)

가상의 컴퍼스와 곧은자를 이용해서 원에 접선을 그려보도록 하지요 P를 지나고 원에 접하는 선을 그려야 하는데 P는 원 위가 아니라 원 밖에 있습니다 그래서 우리는 접선을 그릴건데 일단 곧은자가 필요합니다 곧은자를 준비해 보았습니다 이 곧은자는 칸아카데미 문제를 풀 때 볼 수 있죠 원에 접하는 선을 그려보겠습니다 자 여기 곧은자가 있네요 여기에 곧은자를 대보도록 하죠 자 이제 여기서 대략적으로 그려보는 겁니다 이 곧은 자가 P를 지나 원에 접하게끔 그려야 하는데요 대략 이런 거겠죠 괜찮아 보이네요 그렇지만 다른 작도법 영상에서 봤듯이 이건 단지 눈대중일 분이지 정확한지는 알 수가 없죠 만약 컴퍼스와 곧은자가 있다면 더 정확하게 그릴 수 있겠죠 실제로 이를 그리는 과정에서 흥미로운 패턴을 그려보도록 하겠습니다 어떻게 하냐고요? 저는 이제 저는 이제 선분 PC가 지름인 원을 그려보겠습니다 여기 한 번 그려보죠 저는 선분 PC가 원에 지름이 되도록 원을 그려볼 겁니다 그러려면 원의 중앙이 어디인지를 알아내야 하는데요 곧 PC가 지름인 원을 그리는게 왜 유용한지를 알 수 있을겁니다 중앙이 어디쯤 될까요? 대략 이쯤인거 같네요 그렇지만 실제로 어떻게 그리면 될까요? 이를 위해선 선분 PC 또는 CP의 중점을 찾아야 합니다 이를 위해서 저는 두 원을 그려보도록 하겠습니다 이 두 원을 살짝 크게 그려보도록 하죠 그 중 하나는 C를 중심으로 그려보겠습니다 적당히 크게, 이 정도면 되겠죠 그리고 이제 같은 반지름의 원을 하나 더 그릴건데요 앞서 그린 것과 같을테니까 반지름 또한 같겠죠 그리고 두번째 원은 P를 중심에 두도록 하겠습니다 이게 왜 흥미로울까요? 이 두 큰 원이 교차하는 지점은 P와 C의 등거리에 있을 겁니다 어떻게 아냐구요? 이 원에 있는 모든 점들은 C와 등거리에 있게 되고 그리고 이 원 위에 있는 모든 점들은 P와 등거리에 있게 됩니다 그리고 이 두 원의 반지름은 같습니다 여기 있는 이 점에서는 양쪽 원 위에 동시에 놓여있게 되므로 P와 C 양쪽에 등거리에 있게 되는 것이죠 따라서 이 점은 양 쪽으로부터 같은 거리에 있는 겁니다 이 점도 마찬가지겠죠 그래서 이 두 점은 모두 선분 CP에 직각인 이등분선에 놓이게 됩니다 직각인 이등분선에 놓이게 됩니다 이등분선을 그려 보겠습니다 만약 이런 선을 그리게 된다면 이것은 선분 CP의 수직이등분선인거죠 여기서 중요한 것은 이등분을 한다는 겁니다 우리는 중점을 찾으려고 했으니까요 자, 이제 선분의 중점을 찾았으니 이제 원을 그릴 준비가 되었습니다 그러니까 중점을 중심으로 하고 CP를 지름으로 하는 원을 그릴 건데요 여기까지 했는데 왜 이렇게까지 했냐구요? 어떤 아이디어를 이용할거냐면요 원에 내접하는 삼각형 중에서 한 변이 원의 지름인 삼각형은 직각삼각형이라는 걸 이용할겁니다 무슨 말이냐고요? 일단 그런 삼각형을 그려보겠습니다 여기에 직선을 하나 더 그리고 이제 삼각형을 하나 그릴 건데요 이 삼각형의 한 변이 원의 지름이 되고 삼각형은 원에 내접할 것입니다 여기 선분의 중점을 중심으로 하는 이 원 안에 말입니다 CP는 이 원의 지름이 될 테구요 CP를 포함하게 그릴거구요 이 점을 여기에 둘거에요 이 점이 C를 중심으로 하는 이 원에 놓이도록 해야하기 때문이죠 그리고 또 하나의 선을 그릴겁니다 이 점은 여기에 이 점은 여기에 놓을게요 그래서 제 결론은 이 삼각형이 직각삼각형이라는 겁니다 어떻게 증명하냐면 제가 다른 영상에서 증명했듯이 이 삼각형은 원에 내접하고 노란색으로 하이라이트 된 바로 이 원에요 그리고 한 변이 지름이 되고 그리고 그 변이 바로 빗변이 됩니다 다른 영상에서 이걸 증명한 적이 있죠 그래서 이것은 직각삼각형이에요 왜 이것을 증명한게 중요할까요 또는 왜 이 원에 접하는 선을 그리는데 이게 중요할까요 왜 이 원에 접하는 선을 그리는데 이게 중요할까요 C를 중심으로 하는 이 원에요 자 여기 주황색으로 하이라이트 된 이 변을 보면 C의 반지름입니다 그리고 이것이 여기있는 이 선과 직각을 이루게 된다면 여기에 있는 선은 접선이 됩니다 접선인 것을 잘 보기 위해서 선을 조금 늘려보도록 하겠습니다 자 되었죠 보이는대로 정확히 직교하고 주황색으로 하이라이트 된 이 선분은 접선임을 알 수 있습니다 결국 이렇게 작도하는것이 눈대중보다는 복잡하지만 이정도에서는 아마 대부분이 눈대중으로 그릴 수 있을지 몰라도 훨씬 큰 스케일에서 그린다면 더 정확하게 그릴 필요가 있으므로 이러한 작도법이 유용할 겁니다 그리고 이러한 과정을 통해 컴퍼스와 곧은자를 이용해서 어떠한 작업을 할 수 있는지에 대해 새로운 점을 알게 되고 그 과정에서 흥미로운 패턴을 그릴 수 있습니다 저는 이걸 벽에 걸어놓고 싶군요