원의 넓이 맛보기

저는 이 영상을 통해 왜 원의 넓이가 πr²이 되는지에 대해 저는 이 영상을 통해 왜 원의 넓이가 πr²이 되는지에 대해 비공식적인 논의를 해보고자 합니다. 비공식적인 논의를 해보고자 합니다. 그 논의는 π 의 가장 전통적인 정의에서 시작하겠습니다 그 논의는 π 의 가장 전통적인 정의에서 시작하겠습니다 먼저 원주율의 정의를 살펴봅시다 먼저 원주율의 정의를 살펴봅시다 π는 원주와 원의 지름의 비 π는 원주와 원의 지름의 비 혹은 원주를 원의 지름으로 나눈 것이라고 할 수 있습니다. 혹은 원주를 원의 지름으로 나눈 것이라고 할 수 있습니다. 아니면 당연하게도 원주를 지름 대신 반지름을 두배한 값으로 나누었다고도 표현할 수 있겠습니다. 원주를 지름 대신 반지름을 두배한 값으로 나누었다고도 표현할 수 있겠습니다. 원주를 지름 대신 반지름을 두배한 값으로 나누었다고도 표현할 수 있겠습니다. 식의 양변에 2r을 곱해서 원주를 구하는 공식을 얻어낼 수 있겠네요 식의 양변에 2r을 곱해서 원주를 구하는 공식을 얻어낼 수 있겠네요 식의 양변에 2r을 곱해서 원주를 구하는 공식을 얻어낼 수 있겠네요 이것은 그냥 원주율 π로부터 비롯된 식일 뿐입니다. 이것은 그냥 원주율 π로부터 비롯된 식일 뿐입니다. 원주율 π는 원주와 지름의 비율로 정의되기 때문에, 원주율 π는 원주와 지름의 비율로 정의되기 때문에, 식의 양변에 지름을 곱하면 원주는 π와 지름의 곱으로 나타나게 됩니다. 원주는 π와 지름의 곱으로 나타나게 됩니다. 이제, 우리는 원주를 구하는 공식을 알게 되었습니다. 이번에도, 이 식은 π의 정의로부터 비롯됩니다. 그러나 이로부터, 왜 원의 넓이 공식이 πr²이 되는지 직관적인 설명을 이끌어내고자 합니다 이를 위해, 그림에서처럼 원에 내접한 다각형들의 넓이를 추정하겠습니다. 이를 위해, 그림에서처럼 원에 내접한 다각형들의 넓이를 추정하겠습니다. 이를 위해, 그림에서처럼 원에 내접한 다각형들의 넓이를 추정하겠습니다. 여기 정오각형이 있네요 여기 정오각형이 있네요 이 정오각형의 넓이는 이 정오각형의 넓이는 이 정오각형의 넓이는 각 삼각형의 5배가 되겠죠 이 정오각형의 넓이는 각 삼각형의 5배가 되겠죠 그리고 삼각형의 면적은 높이 a와 밑변 b, 그리고 1/2를 곱해 ab/2가 됩니다 높이 a와 밑변 b, 그리고 1/2를 곱해 ab/2가 됩니다 높이 a와 밑변 b, 그리고 1/2를 곱해 ab/2가 됩니다 이에 5를 곱한 값은 다음과 같이 나타나는데, 아주 좋은 추정은 아닙니다 그저 정 오각형의 넓이일 뿐이고 우리는 명백히 원의 넓이보다 작은 값을 추정하고 있습니다 우리는 명백히 원의 넓이보다 작은 값을 추정하고 있습니다 다각형의 밖에 있지만 원에 포함된 이 덩어리들의 넓이를 포함하지 못하죠 다각형의 밖에 있지만 원에 포함된 이 덩어리들의 넓이를 포함하지 못하죠 다각형의 밖에 있지만 원에 포함된 이 덩어리들의 넓이를 포함하지 못하죠 그러나 우리가 정다각형의 크기를 키워가면서 버리는 부분이 적어지는 걸 보실 수 있습니다 버리는 부분이 적어지는 걸 보실 수 있습니다 이것은 정칠각형이고, 이것은 정칠각형이고, 남는 넓이가 적어진 것이 보이죠? 여전히 실제보다 작은 값으로 추정하고 있지만 그 정도가 덜해졌습니다 버리는 면적이 왼쪽만큼 많지 않기 때문이죠 버리는 면적이 왼쪽만큼 많지 않기 때문이죠 이 다각형에서 우리는 7개의 삼각형을 볼 수 있죠? 이 다각형에서 우리는 7개의 삼각형을 볼 수 있죠? 이 다각형에서 우리는 7개의 삼각형을 볼 수 있죠? 각 삼각형의 넓이는 이번에도 ab/2 입니다 각 삼각형의 넓이는 이번에도 ab/2 입니다 이 a,b는 왼쪽의 a,b와는 다른 값임을 알아두시죠 무슨 일이 벌어졌나요? 우리가 삼각형의 개수를 증가시킬 때, 우리가 삼각형의 개수를 증가시킬 때, 원의 넓이를 점점 정확히 추정할 수 있을 뿐 아니라 a가 점점 길어져서, 아주 많은 삼각형으로 나누게 되었을 때 a는 r에 가까워집니다 아주 많은 삼각형으로 나누게 되었을 때 a는 r에 가까워집니다 아주 많은 삼각형으로 나누게 되었을 때 a는 r에 가까워집니다 또, 7b는 어떤 값을 향해 가는지 생각해보죠 또, 7b는 어떤 값을 향해 가는지 생각해보죠 정다각형의 변이 많아질 때, 삼각형 개수가 늘어날 때 a는 r에 가까워진다면 정다각형의 변이 많아질 때, 삼각형 개수가 늘어날 때 a는 r에 가까워진다면 정다각형의 변이 많아질 때, 삼각형 개수가 늘어날 때 a는 r에 가까워진다면 삼각형의 개수와 삼각형 밑변의 곱은 어떤 값에 가까워 지나요? 삼각형의 개수와 삼각형 밑변의 곱은 어떤 값에 가까워 지나요? 바로 원의 둘레에 가까워지죠 이 값을 정다각형의 둘레로 생각합시다 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 사실상 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 예를 들어 이 칠각형에서 7b는 제가 표시하는 변들을 더한 값 즉, 이 칠각형의 둘레와 같은 값임을 알 수 있습니다 정다각형의 둘레입니다 정다각형의 둘레입니다 그럼 이제 어떤 일이 벌어지죠? 더 변이 많은 정다각형을 내접시키면 a, 삼각형의 높이는 r에 가까워지고 a, 삼각형의 높이는 r에 가까워지고 a, 삼각형의 높이는 r에 가까워지고 삼각형의 개수가 무한개가 되면 삼각형의 높이는 점점 더 길어져서 원의 반지름에 가까워지고 삼각형의 개수가 무한개가 되면 삼각형의 높이는 점점 더 길어져서 원의 반지름에 가까워지고 삼각형의 개수가 무한개가 되면 삼각형의 높이는 점점 더 길어져서 원의 반지름에 가까워지고 삼각형의 개수가 무한개가 되면 삼각형의 높이는 점점 더 길어져서 원의 반지름에 가까워지고 정다각형의 변의 갯수와 삼각형의 밑변의 곱은 정다각형의 변의 갯수와 삼각형의 밑변의 곱은 정다각형의 변의 갯수와 삼각형의 밑변의 곱은 정다각형의 둘레잖아요 그러니까 우리가 더 많은 변을 추가할 때, 그러니까 우리가 더 많은 변을 추가할 때, 정다각형의 둘레는 원의 둘레에 가까워지겠죠 정다각형의 둘레는 원의 둘레에 가까워지겠죠 정다각형의 둘레는 원의 둘레에 가까워지겠죠 정다각형의 둘레는 원의 둘레에 가까워지겠죠 정다각형의 둘레는 원의 둘레에 가까워지겠죠 이 경향을 여기서 더 확실히 보도록 합시다 이 정다각형에는 몇개의 변이 있을까요? 이 다각형은 10개의 변을 가진 정십각형입니다 이 다각형은 10개의 변을 가진 정십각형입니다 따라서, 정다각형의 둘레는 10b가 되겠고요 따라서, 정다각형의 둘레는 10b가 되겠고요 이렇게 그 값에 a/2를 곱하면 이렇게 그 값에 a/2를 곱하면 이렇게 그 값에 a/2를 곱하면 이렇게 그 값에 a/2를 곱하면 이렇게 그 값에 a/2를 곱하면 이렇게 그 값에 a/2를 곱하면 이 값도 원의 넓이를 추정하는 값이 됩니다 각 삼각형의 넓이인 ab/2에 10을 곱했기 때문이죠 각 삼각형의 넓이인 ab/2에 10을 곱했기 때문이죠 각 삼각형의 넓이인 ab/2에 10을 곱했기 때문이죠 이제는 좀 더 일반화된 상황을 생각해봅시다 정n각형으로 원의 넓이 를 추정한다고 합시다 정n각형으로 원의 넓이 를 추정한다고 합시다 정n각형으로 원의 넓이 를 추정한다고 합시다 그럼 원의 넓이는 n곱하기 b n곱하기 b n곱하기 b n이 10일 때 10b를 했던 것 처럼 nb에 a/2를 곱한 값으로 추정되겠습니다 nb에 a/2를 곱한 값으로 추정되겠습니다 nb에 a/2를 곱한 값으로 추정되겠습니다 이건 전혀 불가사의한 일이 아니에요 이건 전혀 불가사의한 일이 아니에요 밑변에 높이를 곱하고 2로 나눈 값 밑변에 높이를 곱하고 2로 나눈 값 그러니까 b에 a/2를 곱한 값은 각 삼각형의 넓이이고 n을 곱해야 비로소 원의 넓이 추정값이 되는 것이죠 n을 곱해야 비로소 원의 넓이 추정값이 되는 것이죠 원의 넓이는 n과 삼각형 넓이의 곱과 근사적으로 같죠 원의 넓이는 n과 삼각형 넓이의 곱과 근사적으로 같죠 원의 넓이는 n과 삼각형 넓이의 곱과 근사적으로 같죠 이렇게 함으로 어떤 경향을 파악할 수 있을까요? n이 무한대로 접근할 때 즉 무한개의 변을 가진 정다각형으로 원의 넓이를 추정할 때, 무한 개의 삼각형이 발생하게 됩니다 조금만 더 생각해보면 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다 조금만 더 생각해보면 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다 이것은 비공식적인 논의인만큼, 계산보다는 직관적인 이해, 본질적인 이해를 주고자 합니다 계산보다는 직관적인 이해, 본질적인 이해를 주고자 합니다 n이 무한으로 갈 때 어떤 일이 벌어지는지 생각해봅시다 n이 무한으로 갈 때 어떤 일이 벌어지는지 생각해봅시다 n이 무한으로 가면 정다각형의 변은 많아지고, 삼각형도 많아집니다 n이 무한으로 가면 정다각형의 변은 많아지고, 삼각형도 많아집니다 n이 무한으로 가면 정다각형의 변은 많아지고, 삼각형도 많아집니다 또한 , 삼각형의 높이 a는 r 에 가까워지죠 또한 , 삼각형의 높이a는 r 에 가까워지죠 또한 , 삼각형의 높이a는 r 에 가까워지죠 또한 , 삼각형의 높이 a는 r 에 가까워지죠 그 외에는요? n과 b의 곱, 다각형의 둘레는 원주에 가까워집니다 n과 b의 곱, 다각형의 둘레는 원주에 가까워집니다 n과 b의 곱, 다각형의 둘레는 원주에 가까워집니다 a는 r에 가까워지고 nb는 원주에 가까워지는 것이죠 nb는 원주에 가까워지는 것이죠 이것을 nb가 2πr에 가까워진다고도 생각할 수도 있습니다 이것을 nb가 2πr에 가까워진다고도 생각할 수도 있습니다 이것을 nb가 2πr에 가까워진다고 생각할 수도 있습니다 이것을 nb가 2πr에 가까워진다고 생각할 수도 있습니다 왜냐하면 원주가 2πr과 같은 값이기 때문이죠 왜냐하면 원주가 2πr과 같은 값이기 때문이죠 이렇게 a가 r에 가까워지고 nb가 2πr에 가까워지면 이렇게 a가 r에 가까워지고 nb가 2πr에 가까워지면 정다각형 전체 넓이는 어느 값에 가까워질까요? 정다각형 전체 넓이는 어느 값에 가까워질까요? 정다각형 전체 넓이는 어느 값에 가까워질까요? 정다각형 전체 넓이는 어느 값에 가까워질까요? 혹은, 원의 넓이는 어느 값에 가까워질까요? nb는 2πr에 가까워지고, nb는 2πr에 가까워지고, nb는 2πr에 가까워지고, a는 r에 가까워지고, a는 r에 가까워지고, 그걸 2로 나누면 그걸 2로 나누면 n이 무한대에 접근하고 다각형의 변의 개수가 무한 개가 될 때, 삼각형의 개수가 무한 개가 될 때, 다각형의 넓이는 이 값에 가까워집니다 다각형의 넓이는 이 값에 가까워집니다 2는 2로 나눠주고, π에 r 을 두번 곱한 2는 2로 나눠주고, π에 r 을 두번 곱한 πr² 말이죠 무한 개의 삼각형, 즉 무한개의 변을 가진 정다각형으로 원의 넓이를 추정할 때 무한 개의 삼각형, 즉 무한개의 변을 가진 정다각형으로 원의 넓이를 추정할 때 무한 개의 삼각형, 즉 무한개의 변을 가진 정다각형으로 원의 넓이를 추정할 때 원의 넓이는 πr²에 가까워지는 것을 볼 수 있었습니다 원의 넓이는 πr²에 가까워지는 것을 볼 수 있었습니다 원의 넓이는 πr²에 가까워지는 것을 볼 수 있었습니다 이것은 원의 넓이 공식에 대해 직관적인 이해를 불러옵니다 이것은 원의 넓이 공식에 대해 직관적인 이해를 불러옵니다 이것은 원의 넓이 공식에 대해 직관적인 이해를 불러옵니다 이 무한개의 변을 가진 원에 내접한 정다각형의 넓이를 이 무한개의 변을 가진 원에 내접한 정다각형의 넓이를 이 무한개의 변을 가진 원에 내접한 정다각형의 넓이를 원의 넓이와 같다고 생각할 수 있는 것입니다