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증명: 평행한 직선은 기울기가 같습니다.

동영상 대본

이번 수업에서는 평행한 직선은 기울기가 같다는 점을 증명하고 싶습니다 먼저, 평행한 직선을 그리죠 직선 하나를 그리고 하나 더 그려보죠 이 선분은 아래의 직선에 평행합니다 이 두 직선은 평행하다고 할 수 있습니다 이제, 다음 직선들을 가로지르는 직선을 그어보겠습니다 먼저 수평으로 가로지르는 직선을 그어보겠습니다 다음과 같이 긋고 이젠 수직으로 가로지르는 직선을 그어보겠습니다 다음과 같이 그었습니다 초록색 직선은 수평선이고 파란색 직선은 수직선임을 압니다 수평선과 수직선은 직교하며 사이에 직각을 만들어 냅니다 이제, 증명을 시작해 보겠습니다 평행선 각의 특징을 이용하여 평행선 각의 특징을 이용하여 이 두 삼각형은 닮은꼴임을 밝혀보겠습니다 이 것을 바탕으로 이 두 직선들 이 두 노란 직선들이 같은 기울기를 가지고 있음을 보이겠습니다 그 전에, 몇 가지 점을 표시하겠습니다 다음 점을 A, B, C, D, E 라고 부릅시다 이제 한번 봅시다 각 CED와 각 AEB는 직각으로 같음을 압니다 각 CED와 각 AEB는 직각으로 같음을 압니다 각 CED와 각 AEB는 직각으로 같음을 압니다 이 각은 직각이므로 저기도 직각이고 이 각은 직각이므로 저기도 직각이고 평행하는 직선을 가로지르는 직선이 있을 때 동위각에 대해서도 알기 때문에 이 각과 이각, 파란색 직선이 평행하는 노란색 직선과 이 각과 이각, 파란색 직선이 평행하는 노란색 직선과 만드는 두 각이 같음을 압니다 이 두 각의 값은 같습니다 동위각 입니다 점 B 의 맞은편에 있는 이 각도 다음 각과 같습니다 점 B 의 맞은편에 있는 이 각도 다음 각과 같습니다 맞꼭지각이기 때문이죠 많이 봐왔죠? 각 ABE는 각 ECD와 같고 각 ABE는 각 ECD와 같고 종종 평행선과 가로지르는 선의 엇각이라고도 불리죠 종종 평행선과 가로지르는 선의 엇각이라고도 불리죠 삼각형 CED와 삼각형 ABE를 보면 벌써 같은 각이 두 개임을 알 수 있습니다 삼각형 내에 같은 각이 두 개이면 세 번째 각도 같아야 하므로 세 번째 각도 같아야 하므로 세 번째 각은 180도에서 나머지 두 각을 뺀 각입니다 세 번째 각은 180도에서 나머지 두 각을 뺀 각입니다 이렇게 삼각형의 세 각을 모두 구했고 모든 각이 같습니다 모든 각이 같다는 것이 아니라 대응대는 각들이 같다는 것입니다 대응대는 각들이 같다는 것입니다 이 파란색으로 나타내진 각은 이 파란색 각과 같고 이 분홍색 각도 저 분홍색 각과 같고 이 분홍색 각도 저 분홍색 각과 같고 나머지 각은 직각입니다 그러므로 삼각형 AEB는 그러므로 삼각형 AEB는 삼각형 DEC와 닮았다 할 수 있습니다 삼각형 DEC와 닮았다 할 수 있습니다 삼각형 DEC와 닮았다 할 수 있습니다 모든 각이 같음을 토대로 말이죠 대응하는 모든 각이 같으므로 둘은 닮은 삼각형입니다 닮은 삼각형의 각 대응대는 변의 비율은 같음을 알기 때문에 닮은 삼각형의 각 대응대는 변의 비율은 같음을 알기 때문에 그렇기 때문에 변 BE의 비율 대 한번 적어보겠습니다 변 BE의 비율 대 변 AE의 비율은 저 변 대 저변은 대응대는 변은 무엇입니까? 변 BE에 대응대는 변은 CE이고 그러므로 이 비율은 변 CE 대 DE의 비율과 같을 것입니다 다음 삼각형이 닮아있기 때문에 이런 것입니다 변 CE 대 DE 다시 한번 말하자면 두 삼각형이 닮음이면 두 대응되는 변의 비율은 같습니다 두 삼각형이 닮음이면 두 대응되는 변의 비율은 같습니다 그럼 이제 변 BE대 AE의 비율은 얼마일까요? 변 BE대 AE의 비율 그건 위에있는 직선이 기울기입니다 기울기는 직선 AB의 기울기라고 할 수 있습니다 A와 B를 연결하는 직선의 기울기 A와 B를 연결하는 직선의 기울기 A와 B를 연결하는 직선의 기울기 다른 방식으로 적으면 직선 AB의 기울기입니다 직선 AB의 기울기입니다 기울기는 A에서 B까지의 X값의 변화량 분의 Y값의 변화량입니다 점 A에서 B까지의 X 변화량은 AE이고 Y 변화량은 BE, EB입니다 이걸 적어보면 여기 이 값은 Y 변화량이고 이 값은 X 변화량입니다 이제 두 번째 식을 봅시다 DE분의 CE 이 값은 두 점 C,D의 X 변화량 분의 Y 변화량입니다 그러므로, 이 값은 직선 CD의 기울기입니다 그러므로, 이 값은 직선 CD의 기울기입니다 이와 같이 닮음을 구하므로 대응하는 변의 비율일 같음을 알고 대응하는 변의 비율일 같음을 알고 두 직선의 기울기가 같음을 알 수 있었습니다 두 직선의 기울기가 같음을 알 수 있었습니다 이것으로 증명을 마치겠습니다