증명: 수직한 직선의 기울기는 서로 부호가 다르고 역수인 관계를 가집니다

이번 동영상에서는 기하학적 지식을 바탕으로 직교하는 두 직선의 기울기는 서로 음의 역수관계를 가진다는 점을 증명해 보겠습니다 시작하기 전에 직선 L과 직선 M이 있고 둘은 직교하고 있습니다 그러므로 두 직선 사이의 각은 직각이고 그러므로 두 직선 사이의 각은 직각입니다 기하학적 토론을 돕기위해 직선 하나를 더 그어 보겠습니다 다음 점들을 지나가는 수평선을 그어 보겠습니다 다음 점을 지나가는 수평선을 그어 보겠습니다 이 점을 A라고 하고 이 점을 A라고 하고 이 점을 A라고 하고 이 직선은 점 A를 지나가는 수평선입니다 이제 그 위에 수직선을 그어 보겠습니다 여기서부터 수직선을 그어 내리고 여기서부터 수직선을 그어 내리겠습니다 이 각은 90도이고, 저 각도 90도입니다 내가 그렇게 정했습니다 위의 직선은 완벽한 수평선이고 수평선에 수직으로 선을 그어 내렸으므로 그러므로 90도가 맞습니다 이제 몇 개의 점들을 정하겠습니다 아까 말했듯이, 이 점은 A이고 이 점을 B라고 하고 이 점을 C라고 하고 이 점을 D라고 하고 이 점을 E라고 합니다 이제 직선 L의 기울기를 구해 봅시다 직선 L의 기울기는 얼마일까요? 직선 L은 점 C와 A를 지나므로 L의 기울기는 CA의 기울기와 같습니다 L의 기울기는 CA의 기울기와 같습니다 직선 L은 직선 CA입니다 기울기는 X 변화량 분의 Y변화량입니다 Y변화량은 CB의 길이이입니다 Y변화량은 CB의 길이입니다 Y변화량은 CB의 길이입니다 그러므로 기울기는 X변화량 분의 CB의 길이입니다 X변화량은 선분 BA의 길이입니다 선분 BA의 길이입니다 BA입니다 직선 M의 기울기는 얼마입니까? M의 기울기 직선 M의 기울기는 직선 AE의 기울기와 같습니다 직선 M의 기울기는 직선 AE의 기울기와 같습니다 직선 M의 기울기는 직선 AE의 기울기와 같습니다 점 A와 E를 지나는 거면 X변화량 분의 Y 변화량입니다 Y 변화량은 얼마인가요? Y 변화량은 점 D에서 E까지의 거리입니다 점 D에서 E까지의 거리입니다 여기서도 나타낼 수 있는데 A에서 E까지의 Y 변화량입니다 A에서 E까지의 Y 변화량입니다 그럼 이 값을 그냥 선분 DE의 길이라고 말하고 싶지만 Y의 값은 줄어들고 있음을 기억해야 합니다 이 Y 값에서 다음 Y값을 빼야합니다 이 Y 값에서 다음 Y값을 빼야합니다 X 변화량은 얼마인가요? 점 A에서 E까지의 X 변화량은 선분 AD의 길이입니다 AD입니다 그러므로, 직선 M의 기울기는 선분 DE의 길이의 음수입니다 값은 길이를 음수처리한 값입니다 왜냐하면, 이 길이만큼 내려가기 때문입니다 이 값이 Y 변화량이고 선분 AD의 길이를 분모로 합니다 몇 명은 지금까지 구한 값을 토대로 벌써 감을 잡고 있을지도 모르는데요 이제 이 두 삼각형 이 두 삼각형들 CBA, ADE의 닮음을 증명하기만 하면 됩니다 이 두 삼각형들 CBA, ADE 가 같음을 증명하기만 하면 됩니다 그러면, 이 값이 서로 음의 역수 관계인지 증명할 수 있습니다 그러면, 이 값이 서로 음의 역수 관계인지 증명할 수 있습니다 이제 이 두 삼각형의 닮음을 증명해 봅시다 여기 이 각을 x라 정하고 여기 이 각을 x라 정하고 이 각은 다른 색으로 칠해봅시다 여기 이 각을 이 각은 y라고 정합니다 음, x+y+90은 180임을 압니다 서로 보각이기 때문이죠 그러므로 x+90+y는 180도 라고 적을 수 있습니다 그러므로 x+90+y는 180도 라고 적을 수 있습니다 두 항에서 90을 빼도 상관은 없습니다 그리고 x+y는 90도라고 해도 상관없습니다 그리고 x+y는 90도라고 해도 상관없습니다 두 식은 대수적으로 같습니다 그러므로 90도와 같고 어떻게 하면 이 식을 이용을 이용하여 삼각형의 다른 각들을 구하나요? 어떻게 하면 이 식을 이용을 이용하여 삼각형의 다른 각들을 구하나요? x에 이 각도를 더하면 90도이어야만 합니다 또는 x+90에 이 각을 더하면 180도가 되어야 합니다 지금 삼각형 CBA에 대해 이야기하고 있고 삼각형의 세 각의 합은 180도입니다 그러므로 x+90+무엇이 180도 일까요? 아까 배웠듯이 x+90+y는 180도입니다 아까 배웠듯이 x+90+y는 180도입니다 여기도 비슷하게 y+90+ 무엇이 180도 일까요? 똑같습니다 알다시피 y+90+x는 180도입니다 y+90+x는 180도입니다 보이다 싶이 삼각형 ABC와 EDA의 모든 각들은 모든 대응되는 각들은 같습니다 모든 대응되는 각들은 같습니다 모든 대응되는 각들은 같습니다 두 삼각형 모두 각 x를 가지고 두 삼각형 모두 x의 값이 같고 두 삼각형 모두 y의 값이 같고 두 삼각형 모두 직각삼각형입니다 세 각이 같음으로 세 각이 같음으로 삼각형의 닮음 조건을 충족합니다 삼각형 EDA는 삼각형 ABC와 닮았음을 압니다 그러므로 대응되는 변의 비율도 같다는 것을 알 수 있습니다 예를 들어보기 전에 대응되는 변의 비율을 찾아봅시다 변 CB대 BA는 변 CB대 BA는 대응되는 변의 비율은 같음을 아니깐 대응되는 변의 비율은 같음을 아니깐 대응되는 변의 비율은 같음을 아니깐 변 BA분의 CB는 변 BA분의 CB는 변 CB에 대응되는 변은 x각과 마주보는 변입니다 x각과 마주보는 변입니다 변 CB에 대응되는 변은 변 AD입니다 그러므로 AD를 분자로 삼고 변 BA와 대응되는 변은 무엇입니까? 변 BA는 각 y와 마주보니깐 여기서 대응되는 변은 변 DE입니다 DE분의 AD입니다 같은 색으로 적어보겠습니다 DE분의 AD입니다 처음부터 있던 이 값은 직선 L의 기울기입니다 직선 L의 기울기 그러면, 이 값은 직선 L의 기울기와 무슨 관계가 있나요? 직선 M의 기울기는 이 값과 음의 역수관계입니다 직선 M의 기울기는 이 값과 음의 역수관계입니다 이 값을 역수로 만들면 AD분의 DE가 되는데 그 값을 음수화 시키면 됩니다 이 값을 직선 M의 기울기의 음의 역수관계라 적을 수 있습니다 이 값을 직선 M의 기울기의 음의 역수관계라 적을 수 있습니다 이 값을 직선 M의 기울기의 음의 역수관계라 적을 수 있습니다 이제 다 했습니다 L과 M이 직교한다는 가정하에 L과 M이 직교한다는 가정하에 두 개의 닮은 삼각형을 그리고 직선 L의 기울기는 직선 L의 기울기는 직선 M의 기울기와 음의 역수 관계를 가짐을 증명했습니다