거리 공식

이번 강의에서는 좌표평면에 있는 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 배워볼 거예요 피타고라스의 정리를 적용할 수 있는지 봅시다 예제를 한번 풀어 볼까요? 좌표평면에 점 (3, -4)를 나타내 봅시다 이 점은 x축에서 오른쪽으로 세 칸 이동하고 y축에서 아래로 네 칸 이동한 곳에 있을 거예요 이 점이 (3, -4)입니다 이번에는 점 (6, 0)을 나타내 봅시다 이 점은 x축에서 오른쪽으로 여섯 칸 이동하고 y좌표는 0이므로 y축에서는 움직이지 않습니다 따라서 이 점이 (6, 0)입니다 이제 두 점 사이의 거리를 구해 봅시다 파란색 점과 주황색 점은 얼마나 떨어져 있을까요? 이 거리를 어떻게 구할 수 있을까요? 삼각형이 없는데 피타고라스의 정리를 이용할 수 있을까요? 삼각형이 없다면 그리면 되겠죠 여기에 삼각형을 그려 보겠습니다 이 삼각형이 직각삼각형이라는 것을 눈치 채셨나요? 이 삼각형은 밑변과 오른쪽 변이 수직을 이루는 직각삼각형입니다 직각삼각형의 밑변과 높이를 알면 피타고라스 정리를 이용해 직각의 대변인 빗변의 길이도 구할 수 있습니다 이 길이가 바로 삼각형의 빗변이죠 따라서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형의 빗변의 길이와 같습니다 좀 더 크게 그려 볼게요 이것이 빗변이고 오른쪽 변이있고 밑변도 있습니다 이제 어떻게 해야 할까요? 빗변의 길이를 d라고 해 봅시다 밑변과 오른쪽 변의 길이는 어떻게 구할 수 있을까요? 먼저 밑변의 길이를 구해 봅시다 좌표평면의 칸을 세어볼 수도 있지만 다른 방법으로 해 봅시다 이 왼쪽 점의 x좌표는 3이고 이 오른쪽 점의 x좌표는 6이죠 밑변을 따라 이동하면 x축의 이 길이와 같겠네요 따라서 이 길이는 두 점의 x좌표의 차와 같습니다 답을 제곱해야 하므로 빼는 순서는 상관 없습니다 밑변의 길이는 6 - 3이므로 답은 3이 되겠죠 밑변의 길이는 x좌표의 차입니다 두 번째 점의 x좌표에서 첫 번째 점의 x좌표를 뺀 6 - 3이죠 이 길이가 바로 Δx(델타 x)입니다 마찬가지로 직각삼각형의 높이는 y좌표의 차인 Δy(델타 y)가 되겠죠 위에 있는 점의 y좌표는 0이고 아래에 있는 점의 y좌표는 -4입니다 따라서 y좌표의 차는 0 - (-4)입니다 여기서는 큰 y좌표에서 작은 y좌표를 빼줬죠 여기서도 큰 x좌표에서 작은 x좌표를 빼주었습니다 결과를 제곱할 것이므로 빼는 순서는 상관 없어요 음수가 나와도 답은 같을 거예요 따라서 이 변의 길이는 4입니다 좌표평면에서 칸을 세어 길이를 구할 수도 있어요 밑변의 길이는 3입니다 이제 피타고라스의 정리를 사용해 봅시다 d²을 구해 봅시다 d이 아니라 d²이죠 d² = (Δx)² + (Δy)²입니다 x값의 차의 제곱과 y값의 차의 제곱의 합이죠 이 식은 거리 공식이라고도 하지만 피타고라스 정리와 똑같습니다 이것은 직각삼각형과 같기 때문에 제곱한 두 변의 합은 빗변의 제곱과 같습니다 주어진 수를 이용해서 대입해 봅시다 d² = (Δx)² + (Δy)²에서 Δx는 3이고 Δy는 4이므로 d² = 3² + 4²입니다 이를 계산하면 9 + 16 = 25죠 따라서 d² = 25입니다 이제 거리 d를 구해 볼까요? 거리에서 음수는 존재하지 않기 때문에 d는 25의 양의 제곱근 5가 되겠네요 이 d의 길이는 두 점 사이의 거리와 같습니다 따라서 두 점 사이의 거리는 5입니다 이렇게 보면 거리 공식은 피타고라스의 정리와 같습니다 다른 방법으로 접근해 봅시다 두 점이 있다고 할게요 한 점의 좌표는 (x₁, y₂)이고 다른 점의 좌표는 (x₂, y₂)입니다 이런 형태를 자주 보게 될 거예요 이 두 점 사이의 거리를 구해 봅시다 이 식이 엄청 복잡해 보이지만 피타고라스 정리와 같은 거예요 두 점 사이의 거리를 구해보면 d = √{(x₂ -x₁)² + (y₂ - y₁)²}입니다 교과서에서 이 식을 거리 공식이라고 배웠을 거예요 하지만 이 식은 피타고라스의 정리와 같으므로 외우는 것은 시간 낭비예요 이것은 x좌표의 차입니다 제곱을 할 것이므로 이 값이 음수가 나와도 상관 없습니다 이것은 y좌표의 차입니다 여기서 중요한 점은 양변을 제곱하면 근호가 사라진다는 것입니다 따라서 두 점사이의 거리의 제곱을 식으로 나타내면 다음과 같습니다 d² = (Δx)² + (Δy)² 여기서 Δ는 변화를 의미해요 그러므로 Δx는 x좌표의 차이고 Δy는 y좌표의 차입니다 다른 문제도 풀어 봅시다 임의로 한 점을 골라 볼게요 x축의 왼쪽으로 1, 2, 3, 4, 5, 6만큼 이동해서 한 점을 (-6, -4)라고 합시다 이 점이 있고 다른 점을 (1, 7)이라고 할 때 두 점 사이의 거리를 구해 봅시다 같은 방식으로 피타고라스의 정리를 이용해 봅시다 이 거리는 x좌표의 차이고 이 거리는 y좌표의 차입니다 제곱한 두 거리의 합은 이 거리의 제곱과 같습니다 계산해 봅시다 x좌표의 차를 구할 때 빼는 순서는 상관 없습니다 보통 값이 큰 x에서 작은 x의 좌표를 빼 줍니다 그럼 d²을 구해 볼까요? x좌표의 차는 큰 x좌표에서 작은 x좌표를 빼면 1 - (-6)이죠 (1 - (-6))² 그리고 큰 y좌표 7에서 작은 y좌표를 빼주면 y좌표의 차는 7 - (-4)입니다 (7 - (-4))² 임의의 수를 골랐기 때문에 답이 딱 떨어지지 않을 수도 있어요 따라서 d²을 계산해 보면 1 - (-6) = 7이므로 여기는 7²이 됩니다 칸을 세어 봐도 알 수 있죠 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 이 값이 x좌표의 차와 같습니다 그리고 7 - (-4) = 11이 됩니다 이 거리의 칸을 세어 보면 위로 11칸 이동하네요 그러므로 7 - (-4) = 11이며 이 부분은 11²이 되겠죠 따라서 식은 d² = 7² + 11²입니다 계산기를 꺼내서 계산해 봅시다 7² + 11² = 170 거리의 값은 그 값의 제곱근이 됩니다 d²은 170이므로 170의 제곱근을 구하면 약 13.04입니다 따라서 구하려던 이 거리는 13.04입니다 끝났습니다