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주요 내용

좌표평면 위에서 사다리꼴 넓이

살만 칸은 거리 공식과 사다리꼴 넓이 공식을 이용하여 사다리꼴의 넓이를 구합니다.

동영상 대본

자, 이번에는 여기 좌표평면 위의 사다리꼴의 넓이를 구해봅시다 항상 그래왔듯이, 영상을 잠깐 멈추고 문제에 대해 생각해보세요 우리는 이미 앞의 영상에서 사다리꼴의 넓이를 구하는 공식에 대해 배웠어요 사다리꼴의 넓이는, 간단히 두 밑변의 길이의 평균, 다시 말해 (½ 곱하기) 아랫변과 윗변의 합에 높이를 곱한 값이에요 이 그림에서 밑변은 어떤 것이죠? 그리고 높이는 어떤 것일까요? 음, 여기 선분 CL을 아랫변이라 할 수 있겠죠 선분 CL의 길이가 b₁이에요 빨간 색으로 그어볼까요 이것이 아랫변입니다 윗변, 윗변은 다른 색으로 할까요 윗변, 혹은 b₂가 이 선분 OW의 길이가 됩니다 다음으로, 높이 h는 음, 수직 거리로 여기 점선으로 표시되어 있군요 이 점선은 아랫변 CL과 수직으로 만나죠 따라서 이게 바로 높이입니다 이제 이것들의 이 선분들의 길이를 알 수 있다면 이 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있게 됩니다 만약 이 공식이 약간 낯설거나 궁금한 점이 있다면, 앞의 여러 영상을 통해 이 공식을 어떻게 얻어냈는지 확인할 수 있어요 한 방법으로, 이 사다리꼴을 두 개의 삼각형과 직사각형으로 분해해보는 방법이 있어요 어쨌든, 이제 이를 구해봅시다 일단, 아랫변은 어떻게 될까요? 아랫변 b₁은 선분 CL의 길이죠 여러분은 이미 점의 좌표를 알면 공식을 통해, 점과 점 사이의 거리를 구할 수 있어요 그리고 점과 점 사이의 거리 공식은 단지 피타고라스의 정리에 의한 것이죠 따라서, 이는 x의 변화량의 제곱에 x의 변화량은 이것이 되겠죠 C에서 L로 가기 위해서 x = -4로부터 x = 8까지 가면 돼요 따라서, x의 변화량은 8 빼기 마이너스 4 12가 되겠군요 다음으로, y의 변화량은 y = -1부터 y = 5까지 가면 되니까 y의 변화량은 5 빼기 마이너스 1 6이 되겠군요 하나, 둘, 셋... 6칸이죠? 이제 우리가 구하려 하는 선분의 길이는 한 변의 길이가 12이고 다른 한 변의 길이가 6인 직각삼각형의 빗변의 길이가 되네요 그래서, 피타고라스의 정리를 통해 그 빗변의 길이를 구해주면 앞에서 말했듯이, 거리 공식은 피타고라스의 정리를 이용합니다 이 값은 x의 변화량의 제곱, 12의 제곱에 y의 변화량의 제곱, 6의 제곱을 더하면 144 더하기 36 따라서, 루트 144 더하기 36은 (루트) 180이 되네요 180이 36 곱하기 5이므로 이 값은 6√5가 되네요 다시 한 번 써볼까요 그래서, 이 값은 √(36×5)로 √36이 6이므로, 이 값은 6√5가 됩니다 자, 이제 b₂를 구해봅시다 b₂는, 다시 한 번, x의 변화량의 제곱에 y의 변화량의 제곱의 합의 제곱근이죠 자, 여기서 출발하면 직각삼각형을 만들 수 있죠 이렇게 만들어볼까요? x의 변화량은, -2에서 출발하여 -2에서 출발하여 4까지 갑니다 따라서 x의 변화량은 6입니다 y의 변화량은, 여기서 출발하면 y = 5에서 출발하여 y = 8까지 갑니다 따라서 y의 변화량은 3입니다 앞에서 했듯이 피타고라스의 정리를 통해 이 빗변의 길이를 구하면 x의 변화량의 제곱에, 6의 제곱에 y의 변화량의 제곱, 3의 제곱의 합의 제곱근이 됩니다 이는 무엇과 같냐면 36 더하기 9 45와 같고, 루트 45 √(9×5)와 같습니다 이는 3√5와 같죠 이제 마지막으로 높이를 구해볼까요 높이 h를 구하면 됩니다 자, 높이 h는 W에서 N까지 가니까 x의 변화량은 2 x의 변화량은 2이고 x = 4부터 x = 6까지 가죠? 수치적으로 구하고 싶으면 끝점에서 x 값은 6이고 시작점에서 x 값은 4이니 6 - 4는 2인 것을 확인할 수 있죠 따라서, 이는 제곱근 2의 제곱 더하기 다시 써볼까요 따라서, 이는 x의 변화량의 제곱과 y의 변화량의 제곱의 합의 제곱근입니다 y의 변화량은 마이너스 4 마이너스 4입니다 하지만 제곱하면 플러스 16이 되죠 따라서, 이 값은 루트 4 더하기 16 √20 즉, √(4×5)와 같네요 이는 루트 5의 두 배입니다 √5가 계속 나오니 좋네요 자, 이제 마지막으로 위의 식에 대입만 하면 됩니다 따라서, 이 사다리꼴의 넓이는 ½ 곱하기, 6√5 6√5 더하기 3√5 3√5 괄호를 닫고 곱하기 2√5 2√5 이제 식을 잘 보세요 자, 6√5 더하기 3√5는 9√5이죠 자, ½과 2는 서로 지워지네요 이제, 이는 9√5 곱하기 √5입니다 √5 곱하기 √5는 5네요 따라서, 사다리꼴의 넓이는 9 곱하기 5 즉, 45칸입니다