조임정리란?

이번에 하게 될 내용은 제가 가장 좋아하는 수학 이론 중 하나인 조임 정리입니다 제가 그 정리를 좋아하는 이유 중 하나는 그것이 수학에서는 보기 힘든 '조임'이라는 단어를 포함하고 있기 때문입니다 하지만 그것은 적절한 이름입니다 또한 이것은 종종 샌드위치 정리라고도 불리는데 곧 보게 되시겠지만 이것도 적절한 이름입니다 샌드위치 정리라고도 불리므로 먼저 비유를 생각해봅시다 조임 정리 또는 샌드위치 정리에 대한 직관을 얻기 위해서 말입니다 세 사람이 있다고 생각해 봅시다 세 명은 각각 '임란', '디야' 그리고 '살'입니다 임란은 언제나 하루에 가장 적은 양의 칼로리를 섭취한다고 합시다 그리고 살은 언제나 하루에 가장 많은 양의 칼로리를 섭취한다고 합시다 그렇다면 우리는 디야가 언제나 적어도 임란만큼은 먹는다고 말할 수 있습니다 또한 우리는 살이 언제나 적어도 디야만큼은 먹는다고 말할 수 있습니다 여기서 우리는 간단한 부등식을 하나 세울 수 있습니다 임의의 날에 그날의 임란의 칼로리는 그날의 디야의 칼로리와 같거나 그보다 적을 것이고 그날의 디야의 칼로리는 살의 칼로리와 같거나 그보다 적을 것입니다 이제 오늘이 화요일이라고 해봅시다 만약 여러분이 임란이 1500cal를 먹은 것과 살도 1500cal를 먹은 것을 알게 되었다고 하면 이것을 바탕으로 생각할 때 디야는 그날 얼마나 많은 칼로리를 섭취했을까요? 일단 디야는 항상 적어도 임란만큼은 섭취하기 때문에 1500cal 이상을 섭취했을 겁니다 하지만 디야는 항상 살보다는 적은 칼로리를 섭취합니다 따라서 섭취한 칼로리는 1500 이하일 것입니다 그런데 1500 이상이고 1500 이하인 수는 1500 밖에 없습니다 그러므로 분명 디야는 1500cal를 섭취했을 겁니다 당연합니다 조임 정리도 본질적으로 이것을 함수를 통해 표현한 수학적 모습일 뿐입니다 여러분은 임란의 칼로리의 날짜에 대한 함숫값, 살의 칼로리의 날짜에 대한 함숫값, 디야의 날짜에 대한 함숫값이 항상 서로의 사이에 있다는 것을 알 수 있습니다 이제 이 상황을 조금 더 수학적으로 만들어 봅시다 수학을 할 공간을 확보하기 위해 이것들을 지우겠습니다 이제 같은 비유를 해봅시다 세 개의 함수가 있습니다 f(x)가 어떤 구간에서 항상 g(x) 이하이고 같은 구간에서 g(x)가 항상 h(x) 이하라고 합시다 이것을 그래프로 나타내겠습니다 이 직선이 y 축이고 이 직선이 x 축입니다 그리고 그 구간을 x축 상에 나타내겠습니다 h(x)가 이렇게 생겼다고 합시다 더 흥미롭게 만들어보죠 h(x)가 이렇게 생겼다고 합시다 이것이 h(x)입니다 f(x)는 이렇게 생겼다고 합시다 이렇게 흥미로운 부분도 있고 아래로 내려가고 또 이렇게 올라갑니다 f(x)는 이렇게 생겼습니다 그리고 g(x)는 어떠한 x값에 대해서도 항상 이 두 개 사이에 있습니다 여러분도 조임과 샌드위치가 어디서 일어날지를 알아차리셨을 겁니다 만약 h(x)와 f(x)가 잘 휘어지는 빵이라고 생각한다면 g(x)는 빵 사이의 고기라고 생각할 수 있습니다 따라서 g(x)는 이렇게 생겼을 겁니다 이제 우리는 이것이 특정한 날에 살과 임란이 같은 양을 먹었다는 것과 같다는 것을 압니다 특정한 x 값에 대해서 그 x 값으로 향하는 f(x)와 h(x)의 극한은 같은 극한값을 가리킵니다 그럼 여기 있는 이 x 값을 가져옵시다 이 x값을 c라고 합시다 이때 f(x)의 x가 c로 향할 때의 극한값이 L이라고 합시다 또 x가 c로 향할 때의 h(x)의 극한값도 L이라고 합시다 따라서 x가 c로 향할 때 h(x)는 L을 향해가고 x가 양쪽에서 c를 향해갈 때 f(x)는 L을 향해갑니다 따라서 이러한 극한이 정의되어야 합니다 사실 함수들의 x가 c로 향하는 극한의 함숫값이 반드시 정의될 필요는 없습니다 단지 접근하는 이 구간에서 함수들이 정의되어 있으면 됩니다 하지만 그 구간에서 이 부등식은 반드시 참이어야 합니다 그리고 만약 여기의 극한이 정의된다면 우리는 g(x)가 항상 두 함수들 사이에 있음을 알기 때문에 그날 또는 그 x 값에서 이제 음식을 먹는 것에 대한 비유는 그만하겠습니다 만약 이 구간에서 이 모든 명제가 참이라면 g(x)의 x가 c로 향할 때의 극한도 L 임을 알 수 있습니다 다시 한번, 이것은 당연합니다 f(x)가 L로 향하고, h(x)도 L로 향해 갈 때 g(x)가 그 사이에 있으므로 g(x) 또한 L로 향해가야 한다는 겁니다 어쩌면 여러분은 이게 당연하다고 말하고 어디가 유용한지 물어볼지도 모릅니다 보시다시피 이 정리는 괴짜같은 함수의 극한값을 조사할 때 유용합니다 조사하고 싶은 함수보다 항상 큰 함수와 항상 작은 함수를 찾았을 때 만약 그 둘의 극한값이 같다면 그 사이에 있는 괴짜 같은 함수도 분명 같은 극한값을 가질 것을 알 수 있습니다