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불연속성 없애기 (유리화)

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x ≠ 5일 때 f(x)를 √(x+4)-3/x-5로 두고 x=5일 때 f(x)=c로 두었을 때 f(x)가 x=5일 때 연속이면 c의 값은 무엇일까요? x=5일 때 f(x)가 연속이므로 x가 5에 접근할 때 f(x)의 극한과 f(5)가 같습니다 이것이 연속의 정의입니다 그리고 x=5일 때 f(5)=c이므로 이 극한은 반드시 c와 같습니다 그러므로 x가 5로 접근할 때 f(x)의 값을 알아내야 합니다 이제 분자에 있는 근호 안에 x=5를 대입하면 5+4=9를 얻게 됩니다 이것의 양의 제곱근은 +3입니다 3-3=0이므로 분자가 0이 됩니다 그리고 분모는 5-5=0이므로 분모도 0이 되어 0/0이라는 부정형을 얻게 됩니다 나중에 우리는 부정형의 극한을 구하는 방법인 로피탈 정리를 배울 것입니다 그러나 사실 우리는 멋진 계산을 통해 이 문제에 접근할 수 있습니다 먼저 분자에 있는 근호를 제거해줄까요? √(x+4)-3/x-5를 봅시다 (제곱근) ± (어떤 수) 꼴의 식에서 제곱근을 제거하려면 (제곱근)-3에 (제곱근)+3을 곱해주면 됩니다 주어진 식에 √(x+4)+3 나누기 √(x+4)+3를 곱하면 분모와 분자에 각각 같은 식을 곱했으므로 식의 값은 변화가 없습니다 만약 분자가 (제곱근)+3이었다면 (제곱근)-3을 곱하면 됩니다 이 기술은 대수학이나 기초 미적분학에서 분모나 분자를 유리화하는 데 사용되며 주로 분모를 유리화하는 데 사용됩니다 복잡한 수를 제거하기 위해 사용하는 방법도 이와 비슷합니다 이것을 곱해서 대수학 시간에 배운 유형을 적용시키면 (a-b)(a+b) 꼴이므로 제곱수의 차입니다 그러므로 첫 번째 항은 √(x+4)의 제곱인 x+4고 두 번째 항은 -3²인 -9입니다 분모는 x-5 곱하기 √(x+4)+3이 됩니다 사실 식이 간단해졌다고 할 수는 없지만 대수적인 방법을 통해 근호를 제거하여 x=5를 이 식에 대입하거나 극한이 무엇인지 알아내기 위해 식을 변형해 보았습니다 분자를 간단히 하면 x+4-9이므로 x-5/(x-5)(√(x+4)+3) 입니다 그러면 분모와 분자 모두 x-5로 나눌 수 있는 완벽히 이상적인 식을 얻게 됩니다 x ≠ 5일 때 분자와 분모를 x-5로 나눌 수 있고 따라서 이 식은 x ≠ 5일 때 1/√(x+4)+3과 같은 식이 되고 이는 식이 x ≠ 5인 경우에서 정의되었기 때문에 가능합니다 그러므로 이 식을 더 간단한 표현인 1/√(x+4)+3으로 쓸 수 있습니다 이제 x를 5에 점점 가깝게 접근시켜 x가 5와 같게 되지는 않지만 5에 수렴하게 합니다 이 식을 사용하면 f(x)에서 x를 5에 접근시키는 것이 x가 5에 접근할 때 1/√(x+4)+3의 극한값을 구하는 것과 같게 됩니다 x=5를 대입하면 5+4=9이고 9의 양의 제곱근은 3이며 3+3=6이므로 c=1/6이면 x가 5에 접근할 때의 극한값이 f(5)와 같아지게 됩니다 이렇게 되면 x=5일 때 함수가 연속이므로 c=1/6입니다