그래프를 이용한 극한값 추정

y = f(x)의 그래프가 있고 세 개의 다른 극한값을 찾고 싶습니다 영상을 멈추고 풀어보세요 같이 풀기 전에요 먼저 x가 6에 가까워질 때 f(x)의 극한을 찾아봅시다 다른 색으로 적어볼게요 x가 양 방향에서 6으로 가까워질 때 왼쪽에서 가까워진다면 6보다 작은 값에서부터요 f(x)는 1에 가까워집니다 그리고 오른쪽에서 가까워질 때 이 역시 1에 가까워집니다 극한이 존재하기 위해선 양 방향에서 즉 오른쪽과 왼쪽에서 같은 값으로 가까워져야 합니다 그리고 여기선 그래프에 의하면 그래프만으로 충분하지 않지만 이 경우는 좋은 추정입니다 여기선 1에 가까워집니다 여기 어두운 색으로 표시했습니다 다음 문제를 풀어봅시다 x가 4에 가까워질 때 f(x)의 값을 구하세요 왼쪽에서부터 4에 가까워질 때 어떤 일이 일어나나요? 왼쪽에서부터 4에 가까워지면 함수는, 함수의 값은 3에 가까워 집니다 함수의 극한은 x에서 함수가 정의되지 않았을 경우 4 다음은 무엇인지 물으면 정의는 되지 않았지만 하지만 왼쪽에서부터 4에 가까워질 때 하지만 왼쪽에서부터 4에 가까워질 때 3에 가까워지는 것처럼 보입니다 오른쪽에서 4에 가까워질 때 이 역시 3에 가까워지는 것처럼 보입니다 따라서 여기선 그래프를 보고 할 수 있는 말은 함수의 극한이 x가 4에 가까워질 때 3이라는 것입니다 함수가 정의되지 않았지만요 x가 2에 가까워질 때 극한을 구해봅시다 이는 흥미로워 보이네요 f(2)는 2라고 정의되어있기 때문이죠 왼쪽에서 가까워질 때 함수는 2에 가까워집니다 하지만 오른쪽에서 가까워질 때 x의 값이 오른쪽에서 2에 가까워질 때 함수는 5에 점점 더 가까워집니다 5까지 가진 않지만 2.1, 2.01, 2.001과 같이 가까워질수록 함수의 값이 점점 더 5에 가까워지며 오른쪽과 왼쪽에서 서로 다른 값에 가까워지기 때문에 x가 왼쪽에서 2에 가까워질 때와 오른쪽에서 가까워질 때 말이죠 따라서 극한은 존재하지 않습니다 흥미롭네요 이 경우 함수는 6에선 정의됩니다 그리고 극한값은 x가 6일 때의 함수값과 같습니다 여기 x=4일 때 함수의 값이 정의가 되지 않았지만 극한은 존재합니다 f(x)가 2일 경우 함수는 정의되지만 x가 2에 가까워질 때 극한은 존재하지 않습니다 그래프를 통해 극한을 구하는 연습을 위해 다음 문제를 풀어봅시다 이 그래프는 y=g(x)를 나타냅니다 영상을 멈추고 그래프를 통해 극한을 구해보세요 먼저 x가 5에 가까워질 때 극한을 구해봅시다 g(x)에서 x가 왼쪽에서 5에 가까워질 때 이 값에 가까워지는 것 같습니다 직선을 그려서 이 값에 가까워지는 것처럼 보이게 합시다 그리고 오른쪽에서 5에 가까워질 때 같은 값에 가까워지는 것 같습니다 그리고 이 값은 눈으로 따라가보면 약 0.4처럼 보입니다 따라서 극한은 그래프에 따르면 존재한다고 할 수 있습니다 정확하진 않습니다 따라서 약 0.4라고 적겠습니다 0.41 혹은 0.41456789일 수도 있습니다 그래프만 봐선 정확히 모릅니다 하지만 이 근처 값인 것 같습니다 g(x)에서 x가 7에 가까워질 때 극한의 값을 같은 방법으로 찾아봅시다 왼쪽에서 가까워지면 어떻게 되나요 7보다 작은 6.9, 6.99 6.999와 같겠죠 함수의 값이 2에 가까워지는 것 같습니다 g(7)의 값이 5라고 정의돼있는 것은 상관이 없습니다 하지만 왼쪽에서 가까워질 때 x가 6.9, 6.99와 같이 가까워질 때 함수의 값은 2에 가까워집니다 그리고 오른쪽에서 x가 7에 가까워질 때 같은 결과가 일어납니다 2에 가까워집니다 따라서 이 값은 2가 되겠죠 다시 말하지만 함수의 값은 여기 정의되고 극한은 여기 있습니다 g(7)의 값은 x가 7에 가까워질 때의 g(x)의 값과는 다릅니다 하나를 더 풀어봅시다 x가 1에 가까워질 때 극한의 값은 무엇인가요 같은 방법으로 풉니다 왼쪽에서 가까워질 때 x가 0.9, 0.99, 0.999 0.9999로 가면서 함수의 값은 무한대가 됩니다 함수의 값이 무한대로 갑니다 오른쪽에서 가까워지면 같은 일이 일어납니다 무한대로 커집니다 공식적으론 혹은 비공식적으론 무한대에 가까워진다고 합니다 하지만 공식적으로 극한을 표현할 때 이 경우 무한에 가까워지지만 극한이 존재하지 않는다고 합니다 존재하지 않습니다