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주요 내용

무한대에서 분수의 극한 2

서로 다른 세 유리함수의 무한대에서의 극한을 비교해 봅시다. 극한에는 크게 세 가지의 종류가 있습니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

x가 무한대 또는 음의 무한대로 다가갈 때 함수들의 극한을 찾는 예제들을 더 풀어봅시다 여기 복잡한 함수가 있습니다 (9x^7 - 17x^6 + 15√x) (9x^7 - 17x^6 + 15√x) /(3x^7 + 1000x^5 - log₂x) (9x^7 - 17x^6 + 15√x) /(3x^7 + 1000x^5 - log₂x) (9x^7 - 17x^6 + 15√x) /(3x^7 + 1000x^5 - log₂x) x가 무한대에 다가가면 어떻게 될까요? 다른 예제들에서 처럼 여기서 중요한 것은 어떤 항이 우세할지 알아내는 것입니다 예를 들면 분자에서는 세 항들 중에서 9x^7 다른 항들 보다 훨씬 더 빨리 커질 것입니다 그러므로 분자에서는 이 항이 우세한 항입니다 분모에서는 3x^7이 x^5항보다 훨씬 더 빨리 커질 것이고 당연히 밑이 2인 로그 항보다도 빨리 커질 것입니다 x가 계속해서 무한대에 가까워질수록 이 함수는 거의 9x^7/3x^7 와 같아질 것입니다 정리하자면 무한대에 가까워질수록 이 두 식은 서로 가까워진다는 것입니다 이 극한이 이 극한과 같아집니다 그리고 이는 x가 무한대에 가까워질 때 x^7을 통분한 후 남는 9/3 또는 3과 같아집니다 결국 3이 됩니다 이것이 x가 무한대에 가까워질 때의 저 복잡한 식의 극한입니다 여기에 있는 이 함수의 극한도 구해봅시다 이번에도 식이 복잡하네요 음의 무한대에 가까워지지만 같은 원리가 적용됩니다 x의 절댓값이 계속해서 커질수록 어떤 항이 우세할까요? x의 크기가 커질 때 말입니다 분자에는 3x^3항이 있고 분모에는 6x^4항이 있습니다 따라서 이는 x가 음의 무한대로 갈 때의 3x^3/6x^4의 극한과 같아질 것입니다 3x^3/6x^4의 극한과 같아질 것입니다 이를 정리하면 x가 음의 무한대로 갈 때 1/2x의 극한과 같아집니다 어떻게 될까요? 비록 분모가 계속해서 크기가 커지는 음수이지만 결국 1 나누기 매우 큰 음수가 됩니다 결국 0에 아주 가까워집니다 x가 음의 무한대로 갈 때 1/x가 0에 가까워지는 것처럼요 따라서 이 함수의 수평방향 점근선은 y=0이 됩니다 한 번 그래프를 그려보거나 수를 대입해서 확인해보십시오 여기서 깨달아야될 것은 어떤항이 다른 항들에 비해 우세할지 생각해서 문제를 단순화 시키는 것입니다 이 함수에 대해 생각해봅시다 x가 무한대로 갈 때 이 복잡한 함수의 극한은 무엇일까요 다시 한 번 어떤 항이 우세할지 살펴봅시다 분자에서는 4x^4가 우세하고 분모에서는 250x^3이 우세합니다 이들이 가장 차수가 높은 항들입니다 따라서 이는 x가 무한대로 갈 때 4x^4/250x^3의 극한과 같아집니다 4x^4/250x^3의 극한과 같아집니다 그리고 이는 그리고 이는 그리고 이는 그리고 이는 x가 무한대로 갈 때 x^4/x^3은 x가 되어서 4x/250의 극한과 같아집니다 4/250 에다가 x가 무한대로 갈 때 x의 극한을 곱한 것과도 같습니다 x가 무한대로 갈 때 x의 극한은 뭐죠? x가 무한대로 갈 때 x의 극한은 뭐죠? 영원히 커지는 것입니다 따라서 이것은 무한대가 됩니다 무한대에 이 수를 곱하면 무한대가 됩니다 x가 무한대로 갈 때 이 함수의 극한은 끝이 없습니다 무한대입니다 처음부터 이 결과를 얻을 수 있는 방법은 분자에는 사차항이 있고 그 반면에 분모에서 가장 차수가 높은 항은 삼차항이라는 것을 깨닫는 것입니다 따라서 분모가 분자보다 훨씬 더 빨리 커지게 되는 것입니다 분자가 분모보다 훨씬 더 빨리 커지게 되면 무한대로 다가가게 되는 것입니다 분자가 분모보다 훨씬 느리게 커지거나 분모가 분자보다 빨리 커지게 되면 0에 가까워지게 됩니다 이 방법이 유용하다는 것을 깨닫기 바랍니다