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주요 내용

무한대에서 함수값의 차이의 극한

무한대에서 √(100+x)-√(x)의 극한을 구해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

x가 무한으로 갈 때 (100+x)½-x½의 극한에 대해 생각해 봅시다 비디오를 잠시 멈추고 스스로의 힘으로 먼저 풀어보기 바랍니다 여러분이 그럴거라 믿습니다 먼저 대수적으로 식을 변형하기 이전에 간단하게 생각해 봅시다 x가 무한으로 갈 때처럼 정말 커질 때 무슨 일이 일어날까요? 100은 충분히 큰 숫자이지만 x가 억이나 조 또는 경만큼 커진다면 또는 해보다 더 커진다고 생각하면 루트 100은 생각보다 작은 값임을 알 수 있습니다 x가 매우 커지면 (100+x)의 거듭제곱근은 x의 거듭제곱근과 근사적으로 같아질 것입니다 따라서 정말 큰 x에 대해 (100+x)½이 x½과 근사적으로 같다고 이야기할 수 있습니다 이 때 x는 정말 정말 큰 수여야 합니다 x를 계속 증가시킨다면 두 수는 대략적으로 서로 같아질 것입니다 따라서 x가 무한으로 갈 때 전체 식의 극한은 0과 같다고 볼 수 있습니다 여러분은 뒤에 있는 이 수를 매우 비슷한 크기의 앞의 수에서 빼는 것입니다 이제 대수적인 변형을 통해 x가 엄청 커질 때 100이 영향을 거의 미치지 않는다는 논리적이지 않은 부분에 대해 접근해 봅시다 이 표현을 다시 써보겠습니다 우리가 흥미로운 방식으로 조작할 수 있는지 봅시다 (100+x)½-x½가 있습니다 제곱근-제곱근 형태를 본다면 하나 떠오르는 게 있을지도 모릅니다 제곱근을 소거하기 위해서 켤레무리수를 곱해줄 수 있습니다 아니면 x가 무한으로 갈 때의 극한을 찾기 위해 좀 더 유용할 수 있는 식을 만들기 위한 최소한의 변형을 할 수도 있습니다 이 식의 값이 바뀌면 안 되기 때문에 아무수나 임의적으로 곱해서는 안됩니다 우리는 1만 곱할 수 있습니다 따라서 1의 값을 가지지만 우리를 도와줄 수 있는, 켤레무리수로 이루어진 형태를 곱해줍시다 이 수를 곱해봅시다 분모와 분자가 모두 {(100+x)½+x½}으로 이루어진 수를 곱해줍시다 이 수는 1과 같습니다 또한 켤레무리수를 곱해주는 이유는 제곱의 차를 통해 이득을 얻을 수 있기 때문입니다 따라서 밑의 수 (100+x)½+x½는 분모가 될 것입니다 여기에 분모를 써보겠습니다 분자로는 (100+x)½-x½에 (100+x)½+x½를 곱한 수가 올 것입니다 이제 분자를 보면 우리는 (a+b)×(a-b)의 형태를 만들었습니다 제곱의 차를 만들어냈습니다 따라서 분자에 있는 이 부분은 다른 색으로 써보겠습니다 앞의 수의 제곱에서 뒤의 수를 제곱한 것을 뺀 것과 같아질 것입니다 (100+x)½의 제곱은 얼마입니까? 그냥 (100+x)입니다 x½의 제곱은 얼마이겠습니까? 그냥 x가 될 것입니다 따라서 x를 빼주면 간단히 깔끔해지는 것을 볼 수 있습니다 (100+x-x)을 {(100+x)½-x½}으로 나눈 수가 됩니다 x-x는 소거됩니다 따라서 이제 식은 100/{(100+x)½-x½}이 됩니다 x가 무한으로 갈 때의 극한을 다시 씌워줍니다 위 식 대신에 우리는 대수적인 조작을 통해 밑의 식으로 바꿨습니다 x가 무한으로 갈 때 100/{(100+x)½-x½}의 극한을 구하면 됩니다 이제 더 명백해졌습니다 우리는 고정된 분자를 얻었습니다 분자는 100입니다 하지만 분모를 보면 계속해서 증가하고 있습니다 유계를 가지지 않습니다 따라서 분자가 고정되어 있을 때 분모가 계속해서 증가하고 있으므로 고정된 분자를 계속해서 증가하는 즉 엄청나게 큰 분모로 나누는 것입니다 따라서 우리의 원래 직관과 일치하게 이 수가 0으로 접근한다는 것을 알 수 있습니다