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무한대에서의 극한이란?

동영상 대본

이제 함수 f(x)의 극한에 대해 많은 경험이 생겼습니다 이제 생각해볼 것은 x가 어떤 값 a에 가까워질 때 f(x)는 어떤 값에 가까워질까요? 어떤 극한값과 동일하겠죠 여태까지 풀었던 문제들에서는 a가 유한한 값이었습니다 하지만 여기 주어진 함수 f의 그래프를 살펴보면 흥미로운 일이 일어나는 것을 볼 수 있습니다 x가 점점 커지면서 함수 f의 값이 2에 점점 가까워지는 것을 볼 수 있습니다 y가 2가 되는 지점에 수평점근선을 볼 수 있습니다 이와 마찬가지로 x가 음의 방향으로 커지면서 y가 2가 되는 지점에 수평점근선을 볼 수 있습니다 그러면 x가 점점 커지거나 작아지면서 그래프가 수렴하는 값을 나타내 주는 표기법이 없을까요? 이에 대한 해답은 무한대의 극한에 있습니다 이 그래프 혹은 이 함수가 x가 커지면서 가까워지는 값에 대해 생각해 보려면 x가 양의 무한대에 가까워질 때 f(x)의 극한값에 대해 생각해 보면 됩니다 이것이 바로 그 표기법입니다 이 표기법의 정식 정의는 지금 설명하지는 않겠습니다 추후 다른 영상에서 다루게 될지도 모르죠 하지만 이 개념이 던지는 질문은 x가 점점 커지면서 주어진 함수가 어떤 유한한 값을 향해 가까워지고 있으며 해당 지점에 수평점근선이 존재하나요? 이 경우에는 그런 것 같네요 함수가 2에 가까워지고 있습니다 이 특정 함수에 있어서 x가 음의 무한대를 향해 가까워지면서 f(x)의 극한값은 2에 수렴합니다 모든 경우에서 이것이 해당하는 것은 아닙니다 이러한 상황도 있을 수 있죠 다른 함수를 가정해 봅시다 여기 이 지점에 수평점근선을 하나 그려볼게요 이렇게 생긴 함수를 한 번 상상해 볼 수 있습니다 처음 부분은 이렇게 생겼다가 갑자기 이렇게 재미있는 곡선을 그리는 함수입니다 그리고 나서 여기서 내려와 이러한 곡선을 그린다고 합시다 여기서 x가 양의 무한대에 가까워질 때 극한값은 여전히 2이지만 x가 음의 무한대에 가까워질 때는 극한값이 -2가 됩니다 물론 많은 경우에는 양의 무한대나 음의 무한대에 가까워지면서 극한값이 유한한 값에 수렴하지 않습니다 그러한 경우 수평점근선이 존재하지 않습니다 하지만 이 영상의 목적은 이러한 표기법에 익숙해지도록 하는 것입니다 무한대에서의 극한 혹은 음의 무한대에서의 극한은 이전에 보아왔던 극한들과는 다른 정의를 가지고 있습니다 이전에 보아왔던 극한들은 유한한 값에 수렴했으니까요 하지만 직관적으로 봤을 때 이러한 함수들도 분명 극한을 가집니다