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주요 내용
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동영상 대본

많은 동영상들과 연습 문제를 통해 많은 동영상들과 연습 문제를 통해 극한을 구하는 다양한 방법에 대해 배워보았습니다 하지만 때때로 어느 방법을 사용할지에 결정하는 좋은 전략에 대해 생각해볼 필요도 있습니다 이번 영상에서는 그러한 전략에 대해 배울 것입니다 여기 보이는 것은 칸아카데미 팀이 직접 개발한 흐름도입니다 이제부터 이 흐름도를 따라가 볼 것입니다 처음에는 좀 복잡해 보이겠지만 수업을 진행하면서 점점 이해될 것입니다 우리의 목표는 x가 a에 가까워질 때 f(x)의 극한값을 찾는 것입니다 이 흐름도에 따르면 가정 먼저 해야 할 일은 x가 a일 때 나오는 값을 치환해 보는 것입니다 f(a)의 값을 구해 봅시다 이 흐름도에 따르면 f(a)가 실수라면 모든 과정이 끝났습니다 하지만 밑에 작은 조항이 있네요 아마도 이 조항이 적혀 있는 이유는 극한값과 함수값은 서로 다른 것이기 때문입니다 두 값이 같을 때도 있습니다 그것이 바로 이전 영상들에서 다뤘던 연속함수의 정의입니다 하지만 때때로 두 값은 서로 다릅니다 이것은 보통 이와 같은 점 불연속성을 가진 함수이거나 혹은 비약 불연속성을 가진 함수이거나 아니면 이와 같은 모양의 함수일 수도 있습니다 물론 꼭 그렇다는 것은 아닙니다 하지만 해당 점에서 그 점을 향해 가까워지는 극한값을 찾으려고 하는데 이 값에 가까워질 때 주어진 함수가 연속되며 다소 평범한 형태의 함수로 보인다면 이 전략을 알아두는 것이 좋습니다 그럼 여러분은 단순히 a를 치환한 함수값을 구하면 되는 것인지 고려해볼 수 있습니다 통상적으로 x²과 같은 단순한 형태의 함수가 주어졌거나 아니면 이와 같이 유리식이 주어졌거나 혹은 삼각함수식이 주어졌고 함수값을 쉽게 구할 수 있으며 함수값이 실수라면 아마 그것으로 끝일 가능성이 높습니다 만약 이전 영상에서 보았던 온갖 특별한 경우들이나 개별식 함수로 정의된 그러한 함수들이 주어졌다면 좀 더 의심해볼 필요가 있습니다 혹은 그래프를 보았을 때 해당 점에서 도약이나 어떤 종류의 불연속성이 보인다면 좀 더 조심할 필요가 있습니다 하지만 통상적으로 이것은 상당히 정확한 법칙입니다 만약 주어진 함수가 단순한 형태이고 연속함수이며 x에 a를 치환하였을 때 함수값이 실수가 나온다면 그 함수값이 극한값일 가능성이 높습니다 하지만 전 항상 다른 경우들도 고려합니다 만약 함수값을 구했는데 어떤 숫자를 0으로 나눈 값이 나온다면요? 그러한 경우에는 아마 수직점근선이 존재할 가능성이 높습니다 수직점근선이란 무엇일까요? 여기 예제를 살펴보세요 좀 더 진한 색깔을 사용할게요 x가 1에 가까워질 때 1/x-1의 극한값을 구해 봅시다 만약 x가 1일 때 함수값을 구해 보면 1/1-1이 나오는데 이는 곧 1 / 0입니다 흐름도에 따르면 좋아요 수직점근선의 경우를 보고 있다고 나옵니다 해당 점에서 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하고 수직점근선이 실제로 존재한다는 것을 확인하려면 몇 가지 숫자들을 집어넣어 보면서 그래프를 그려보면 됩니다 x가 1인 지점에서 아마 수직점근선이 존재할 겁니다 이것이 바로 그 수직점근선입니다 이제 몇 가지 값들을 집어넣어 보면 됩니다 x가 1보다 크다면 분모는 양수일 것이고 여러 가지 값들을 집어넣어 보면 이러한 그래프가 나올 것입니다 아마 이런 모양일 것이고 1보다 작은 값들에서는 음수값이 나올 것이고 그래프는 이러한 형태를 가지게 됩니다 이 수직점근선에 다다를 때까지 말이죠 주어진 함수는 아마도 이러한 형태일 것입니다 하지만 어떤 경우에는 아주 특별한 경우에는 수직점근선이 없을 수도 있습니다 이에 대한 예제 하나는 함수가 1/x-x일 때입니다 이 함수는 어느 x값에서든 정의되지 않습니다 따라서 이 함수에서는 수직점근선이 존재하지 못합니다 하지만 이것은 아주 특별한 경우입니다 대부분의 경우 해당 지점에 수직점근선이 존재합니다 만약 두 가지 중 어느 경우도 아니라면 어떨까요 만약 함수값을 구했는데 0 / 0이 나온다면요? 이것이 그에 대한 예제입니다 x가 -1에 가까워질 때 이 유리식의 극한값을 구해봅시다 한 번 계산해 봅시다 (-1)², 즉 1이 나오고 여기에다가 -1을 더하면 +1이 됩니다 여기에서 2를 빼야 합니다 즉 분자는 0입니다 분모에서는 (-1)² 즉 1이 나오고 여기에서 -1 x 2를 더하면 +2가 나오며 여기에서 3을 빼면 0이 나옵니다 이것을 부정형 형태라고 부릅니다 우리의 흐름도에서 우측으로 계속 가보면 부정형 형태를 다루기 위한 많은 방법들이 나와 있습니다 그리고 아마 몇 주 내로 여러분은 미적분을 좀 더 요구하는 새로운 방법을 배우게 될 겁니다 로피탈 정리를 사용하는 방법인데 미적분을 요구하니 여기에서는 다루지 않겠습니다 여기 서술된 다른 방법들은 미적분을 배우지 않고도 사용할 수 있으니까요 대수적 방법 몇 가지와 삼각함수를 이용하는 방법 몇 가지를 포함합니다 첫 번째로 여러분이 해야 할 것은 특히 여러분에게 주어진 함수가 이와 같은 유리식이라면 그리고 함수값이 부정형 형태라면 식을 인수분해해 보세요 이 식을 단순하게 만들 수 있는지 한 번 시도해 보세요 여기 주어진 식은 인수분해가 가능합니다 이 식은 달리 말하면 (x - 2) (x + 1)/(x - 3) (x - 1)입니다 (x - 2) (x + 1)/(x - 3) (x - 1)입니다 만약 방금 일어난 일이 전혀 이해되지 않는다면 다항식 인수분해와 이차방정식 인수분해에 대한 영상들을 보기를 추천합니다 이제 계속해 봅시다 x가 -1이 되지 않는 한 이 식은 단순하게 만들 수 있습니다 이 두 항은 서로 상쇄되며 따라서 주어진 식이 x -2 / x - 3와 같다고 말할 수 있습니다 x가 -1이 아니라는 전제 하에 말입니다 종종 사람들은 이 부분을 잊곤 합니다 하지만 이 부분을 포함해야 수학적으로 정확해집니다 이 식 전체는 이 식과 같습니다 이 식은 어찌됐건 x가 -1이라면 정의되지 않으니까요 단순해진 이 식에 x는 -1을 치환하면 함수값을 얻을 수는 있지만 말이죠 만약 x에 -1을 치환한다면 이 조건을 없애는 것이 수학적으로 동일해지기 위해서라고 해도 식이 -1 - 2 / -1 - 3이 되면 -3 / -4가 되며 이는 3/4과 같습니다 만약 이 조건이 없었다면 함수값을 간단히 구할 수 있게 되고 단순한 형태의 함수가 되버립니다 이 함수에서 이상한 일이 일어날 일은 없겠죠 x에 -1을 치환해서 함수값을 바로 구할 수 있습니다 아주 좋습니다 다시 돌아가 인수분해를 했습니다 인수분해를 할 수 있었고 식을 단순하게 만들었습니다 식을 단순하게 만듦으로써 함수값을 구할 수 있었습니다 3/4을 구할 수 있었고 이제 이 상황에서의 극한값이 3/4이라는 사실을 알았습니다 우리가 여태까지 풀었던 연습 문제들은 여러분이 앞으로 높은 확률로 마주칠 극한 문제들의 전형입니다 이제 다음 두 가지는 좀 더 화려한 방법들입니다 만약 부정형 형태가 나왔는데 종종 부정형 형태는 이와 같은 제곱근을 포함하고 있곤 합니다 제곱근 유리식이죠 이 때 켤레식에 곱하면 됩니다 예를 들어 이러한 경우에 x가 4일 때의 함수값을 구하려고 하면 √4 - 2 / 4 - 4가 나오는데 √4 - 2 / 4 - 4가 나오는데 이는 0 / 0입니다 즉 부정형 형태의 값입니다 이 방법의 요점은 제곱근 유리식이 주어진 만큼 제곱근을 없애거나 단순하게 만들 방도를 찾는 것입니다 다시 적어볼게요 √x - 2/ x - 4 √x - 2/ x - 4 √x - 2/ x - 4 이제 켤레식을 곱합시다 √x + 2 / √x + 2라는 식에 곱하면 됩니다 √x + 2 / √x + 2라는 식에 곱하면 됩니다 다시 강조하지만 같은 식을 같은 식으로 나누는 것입니다 따라서 곱해지는 식의 값은 바뀌지 않습니다 따라서 이것은 a + b에 a - b를 곱하는 형태라면 합차 공식의 형태입니다 따라서 첫 번째 항은 (√x)²입니다 (√x)² - 4가 됩니다 (√x)² - 4가 됩니다 (√x)²은 x이니까 x - 4가 됩니다 이제 단순해진 형태로 다시 적어 봅시다 x - 4 / (x - 4)(√x + 2) x - 4 / (x - 4)(√x + 2) x - 4 / (x - 4)(√x + 2) x - 4 / (x - 4)(√x + 2) 아주 유용합니다 이제 여기에 있는 x - 4 항을 상쇄시킬 수 있으니까요 다시 강조하지만 수학적으로 정확히 같은 식이기를 원한다면 이제 이 식은 √x + 1/2이 됩니다 x가 4가 아니라는 전제 하에 말입니다 하지만 이 함수의 극한값을 구하려면 단순하게 바뀐 이 식에서 x에 4를 치환하기만 하면 됩니다 그러면 이러한 값이 나옵니다 x에 4를 치환하면 1/ √4 + 2이 나오며 1/ √4 + 2이 나오며 이것은1/4과 같습니다 그리고 이것은 거의 확실하게 우리가 찾던 극한값입니다 이 초록색 영역으로 다시 돌아온 것입니다 원래의 함수를 그래프로 그리려고 하면 점 불연속성을 보게 될 것입니다 x가 4인 지점에서 텅 빈 구멍이 생겨나겠죠 하지만 식을 단순하게 만들고 x - 4 항을 인수분해하고 상쇄시키면 텅 빈 구멍이 사라집니다 이것이 우리가 하려는 것입니다 존재하는 그 텅 빈 구멍에 가까워질 때 극한값을 찾으려는 겁니다 이제 마지막 방법입니다 삼각함수식이 주어졌을 때 쓰는 방법입니다 이 방법을 사용하려면 삼각정리를 능숙하게 쓸 수 있어야 합니다 여기서 하려는 이야기는 좀 더 짙은 색깔을 사용할게요 x가 0에 가까워질 때 sin(x) / sin(2x)의 극한값을 구하려고 합니다 x에 0을 치환하면 분자와 분모 모두 0이 되며 이는 부정형 형태의 값입니다 부정형 형태가 나오면 이렇게 분류됩니다 이제 여러분도 눈치챘겠지만 이 극한값은 x가 0에 가까워질 때 이 식과 같습니다 분모의 sin(2x)는 2sin(x)cos(x)로 변환할 수 있습니다 그리고 이 두 항은 서로 상쇄됩니다 x가 0이 아니라는 전제 하에 말이죠 만약 여러분이 수학적으로 정확한 절차를 거치고 싶다면 말입니다 원래의 그래프에는 분명 해당 지점에 텅 빈 구멍이 있었을 것입니다 만약 이 함수식의 그래프를 그렸다면 말이죠 하지만 극한을 찾기 위해 이제 이 극한값이 x가 0에 가까워질 때 1/2cos(x)의 극한값과 같다고 할 수 있습니다 이제 이 초록색 영역으로 다시 돌아갈 수 있습니다 왜냐하면 이 극한값을 x가 0일 때 계산할 수 있으니까요 1 / 2cos(0)이 될 것입니다 cos(0)은 1입니다 따라서 극한값은 1/2이 되겠죠 미적분에 대해 좀 더 배우게 되면 통상적으로 이 중 어느 방법도 통하지 않는다면 쓸 수 있는 몇 가지 다른 방법들을 배우게 될 텐데 그러면 이제 기초가 완성된 것입니다 근사값 근사값은 계수적으로 구할 수 있습니다 원하는 값에 정말 정말 정말 가까운 값들을 시도해 보는 것입니다 만약 x가 0에 가까워질 때의 극한값을 구하고 싶다면 0.00000000001을 한 번 시도해 보세요 -0.0000001도 시도해 보세요 만약 x가 4에 가까워질 때 극한값을 구하려고 한다면 4.0000001을 시도해 보세요 3.9999999999도 시도해 보세요 그리고 어떤 일이 일어나는지 살펴보는 것입니다 하지만 이것은 마지막 방도입니다 가장 마지막 방도이죠