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표를 통해서 중간값 정리 조건 확인하기

동영상 대본

이 표는 함수 f의 선택된 값 몇 개를 보여주고 있습니다 좋아요 중간값 정리를 이용해서 f(x)는 0이라는 식이 x값이 4와 같거나 크고 6과 같거나 작을 때 해가 있는지 증명할 수 있을까요? 만약 그렇다면, 그 이유를 설명하세요 영상을 잠시 정지하고 먼저 스스로 한 번 문제를 풀어 보세요 자, 여기 무슨 일이 일어나고 있는지 시각화해 보고 중간값 정리에 대해 시각적으로 한 번 생각해 봅시다 이것이 y축이고 이것이 x축이라고 가정해 봅시다 여기 점 몇 가지가 주어졌습니다 여기 점 몇 가지가 주어졌습니다 x가 0일 때 f(x)는 0이라는 사실을 알고 있습니다 한 번 그려볼게요 여기 점이 존재합니다 x가 2일 때 y값 혹은 f(x)의 값은 -2일 것입니다 따라서 여기 -2가 존재합니다 x가 4일 때 f(x)는 3입니다 1, 2, 3 그림을 한눈에 보기 위해 축척을 조금 다르게 했습니다 x가 6일 때 f(x)는 7입니다 3, 4 5, 6, 7 바로 이 지점이겠네요 우리는 함수가 연속된다는 것 또한 알고 있습니다 연속성을 확인하는 직관적인 방법은 이 모든 점들을 연필을 들었다 놓지 않고 연결해 보는 것입니다 함수는 이렇게 생겼을 겁니다 한 번 제 마음대로 그려볼게요 제가 그린 것과 아마 비슷하게 생긴 함수이겠죠 좀 더 급격한 파동이 있을 수도 있겠지만 제가 그린 함수 f는 이러한 모양입니다 이제 중간값 정리에 따르면 닫힌 구간을 하나 정해야 합니다 문제에서 주어진 닫힌 구간은 4부터 6이므로 이 구간으로 합시다 1, 2, 3, 4가 여기 있고 여기가 6입니다 이제 이만큼의 구간을 살펴볼 겁니다 중간값 정리에 따르면 이 닫힌 구간에 걸쳐 함수가 연속된다면 함수 f는 다음 두 값 사이의 모든 값을 포함할 겁니다 f(4), 즉 3과 f(6), 즉 7 사이의 값들 말이죠 f(7)이 아니라 f(6)이고 7의 값을 가집니다 그러면 이 구간 내에서 예를 들어, f(x)가 5일 때 해가 존재할까요? 네 이 구간에 걸쳐서 어떤 특정 x값에서 f(x)의 값은 5가 될 것입니다 하지만 문제에서 묻는 것은 f(x)가 이 두 값 사이의 어떤 값과 같은 경우가 아닌 f(x)가 0이 되는 경우에 대해 묻고 있습니다 0은 f(4)와 f(6) 사이에 있지 않으니 중간값 정리를 여기서는 사용할 수 없습니다 이를 적어보려면 f는 연속되지만 0은 f(4)와 f(6) 사이에 있지 않다고 말할 수 있습니다 따라서 중간값 정리는 적용되지 않습니다 두 번째 문제를 풀어봅시다 f(c)가 0인 식에서 c가 2와 같거나 크고 4와 같거나 작은 구간에서 중간값 정리를 사용할 수 있을까요? 만약 그렇다면, 이유를 설명하세요 f가 연속된다는 조건이 주어졌으니 적어 놓겠습니다 우리에게 주어진 것은 f가 연속함수라는 것이고 우리에게 중요한 것은 이 구간이지만 문제에 따르면 함수 전체가 연속됩니다 그러면 여기 끝점들에서 함수값이 무엇인지만 보면 됩니다 주어진 구간은 2에서 4까지고 닫힌 구간입니다 f(2)는 -2라는 사실을 우리는 알고 있습니다 표에 나와 있으니까요 f(4)는 무엇일까요? f(4)는 3입니다 따라서 0은 f(2)와 f(4) 사이에 위치해 있습니다 그래프에서도 시각적으로 볼 수 있습니다 이 점과 이 점을 연필을 들지 않으면서 x축을 가로지르지 않고 이어 그릴 수는 없습니다 함수값이 0이 되는 지점을 지나지 않고는 그릴 수 없습니다 따라서 우리는 중간값 정리에 따라 이렇게 말할 수 있습니다 어떤 값 c가 존재하며 해당 값 c에서는 f(c)는 0이고 그 값 c는 2와 같거나 크며 4보다 작거나 같다 즉 우리가 말하고자 하는 것은 여기 그린 것처럼 c가 2와 4 사이이며 동시에 f(c)가 0인 조건을 충족한다는 것입니다 이것이 모두 아주 수학적이고 헷갈릴 수도 있겠지만 사실 아주 직관적인 결론입니다 만약 이 점에서 저 점으로 연필을 들지 않고 이어 그리려면 f(2)와 f(4) 사이의 모든 값을 적어도 한 번 이상 지나야 한다는 것이죠