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방정식을 통해서 중간값 정리 조건 확인하기

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g(x)가 1/x이라고 가정합시다 중간값 정리를 사용해서 g(c)는 0이고 c는 -1보다 크거나 같으며 1보다 작거나 같을 수 있다는 것을 증명할 수 있을까요? 만약 그렇다면 이유를 설명하세요 중간값 정리를 사용하기 위해서는 논점이 되는 구간에 걸쳐 함수가 연속돼야 합니다 여기서 논점의 구간은 x가 -1부터 1일 때까지입니다 1/x은 이 구간에 걸쳐서 연속되지 않습니다 x가 0일 때는 정의되지 않기 때문이죠 따라서 아닙니다, 왜냐하면 g(x)는 정의되지 않았으며 또한 연속되지 않기 때문입니다 구간의 모든 점에서 정의되지 못하였고 -1부터 1에 걸친 닫힌 구간에서 연속되지 않습니다 괄호를 열고 x가 0일 때 정의되지 않음 이라고 적어도 되겠죠 좋습니다, 이제 두 번째 문제로 넘어가 봅시다 중간값 정리를 이용해서 g(x)는 3/4이라는 식이 x가 1보다 크거나 같고 2보다 작거나 같을 때 해가 있는지 증명할 수 있나요? 만약 그렇다면 이유를 설명하세요 먼저 구간을 살펴봅시다 1에서 2까지의 구간을 고려한다면 함수는 그 구간에 걸쳐서 연속되니 g(x)는 닫힌 구간 1에서 2까지 연속된다고 할 수 있습니다 좀 더 이유를 설명하려면 이렇게 적으면 되겠죠 함수 g는 모든 실수에 대해 정의되어 있으며 그에 따른 x값은 0이 아니다 g(x)는 모든 실수에 대해 정의되어 있으며 그에 따른 x값은 0이 아니고 x분의 1과 같은 유리함수들은 정의역에 걸친 모든 점에서 연속된다 이것은 g(x)가 해당 구간에서 연속된다는 것을 잘 설명해 줍니다 이제 함수 g가 끝점에서 어떤 값을 가지는지 보고 싶어집니다 이 숫자들이 양 끝점입니다 g(1)은 1/1, 즉 1이고 g(2)는 1/2입니다 따라서 3/4은 g(1)과 g(2) 사이이고 중간값 정리에 따라 구간 내에 g(x)가 3/4이 되는 즉 1과 2 사이에 g(x)가 3/4이 되는 x값이 반드시 존재합니다 그러므로 예, 중간값 정리를 이용해서 g(x)는 3/4이라는 식에 해가 있다는 것을 증명할 수 있으며 이것으로 풀이가 끝났습니다