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중간값 정리를 사용하여 문제 풀기

동영상 대본

함수 f 가 닫힌구간 [ - 2, 1 ]에서 연속이고 f( -2) = 3 f( 1) = 6 이라고 합니다 다음 중 중간값 정리를 만족하는 것은 무엇일까요? 문제를 보기 전에 중간값 정리가 무엇이었죠? 먼저, 닫힌 구간에서 연속인 함수일 때 중간값 정리를 사용할 수 있습니다 그리고 x = -2 일 때의 함수 값 3이라고 주어져 있네요 그리고 x = -2 일 때의 함수 값 3이라고 주어져 있네요 f( -2) = 3 이에요 그리고 x = 1일 때는 나와있는 것처럼 6이에요 만약 중간값 정리에 대한 내용이 잘 생각이 나지 않거나 익숙하지 않다면 동영상을 보면서 다시 한 번 복습하시기 바랍니다 중간값 정리는 어느 닫힌 구간에서 연속인 함수는 닫힌 구간에서 모든 함수 값을 가져야 한다는 것이죠 다르게 이야기하면 3과 6사이의 값을 가지는 3과 6사이의 값을 가지는 L=f(C)가 적어도 하나 존재한다는 것이에요 적어도 하나 존재한다는 것이에요 다시 말하면 닫힌구간 [-1,2] 사이의 c 중에서 f(c)=L인 모든 함수 값을 가져야 한다는 것이죠 이 내용은 중간값 정리에서 바로 도출할 수 있고 정말 간단하게 이야기하면 끊어지지 않은 이어진 함수라고도 할 수 있어요 조금 있다가 그래프를 그려보겠지만 단순히 이어져 있다고 이해해도 됩니다 그래프를 그리는 동안에는 연필을 떼지 않고 그려야 한다는 말이기도 합니다 이는 3과 6 또는 이 문제에서 함수의 값인 3과 6 사이의 모든 값을 지나야 한다는 말이니까 처음의 중간값 정리에 대한 설명과 비슷한 말이기도 하고요 그러면 이제 다음 문장 중에서 무엇이 맞는 문장인지를 살펴봅시다 f(c)=4 이네요 그러면 3과 6사이의 값이니까 여기까지는 일치합니다 닫힌 구간 [ -2, 1]에서는 f(c) = 4인 c가 적어도 하나 존재한다고는 할 수 있습니다 하지만, 범위가 일치하지 않습니다 f(c)는 4가 될 수는 있지만 이 범위에서는 아니고 여기에 x가 들어갈 자리였는데 그러면, c는 이 범위 사이에 들어가야 합니다 직접 그래프를 그려서 확인해보도록 합시다 현재 우리가 알 수 있는 것은 f(c)=4인 c가 -2에서 1 사이의 범위에 위치한다는 것입니다 4가 3과 6의 사이에 있다는 것은 맞는 표현이지만 c는 x 축에서의 이 범위안에 있어야 합니다 이 문장은 잘못된 문장이네요. 지워버립시다 오히려 헷갈리게 하고 있어요 자, 다음 문장으로 넘어가 봅시다 f(c)=0인 c가 -2와 1 사이에 있다고 합니다 c가 위치하고 있는 x 축상의 범위는 일치하지만 c가 3과 6 사이에 있지 않기 때문에 f(c)=0인 c가 이 범위 사이에 존재한다고는 말할 수 없습니다 그러면 이 것도 지워버리도록 하겠습니다 이것도 마찬가지로 f(c)=0이라고 하고 있으니까 지워버리도록 하겠습니다 이제 하나만 남았는데 이건 맞는 것이면 좋겠네요 f(c)=4인 c라고 하고 있네요 이 부분은 잘 맞는 설명이네요 4는 3과 6 사이에 있으니까 말이에요 그리고 c는 -2와 1 사이에 있다고 하네요 이 범위 또한 문제에 주어진 범위와 일치하니까 일치한다고 할 수 있겠네요 이건 맞는 문장이겠네요 중간값 정리는 그래프를 통해 눈으로 확인해 볼 수도 있어요 먼저 x 축을 그려볼게요 그리고 y 축을 그려볼게요 그리고 x 축과 y 축의 간격은 다르게 설정해서 그려야겠네요 그리고 x 축과 y 축의 간격은 다르게 설정해서 그려야겠네요 여기가 6이고 여기가 3 이점은 y 축에 있었고 여기가 1 여기가 -1 그리고 여기가 -2가 되겠네요 그러면 이제 닫힌구간 [ -2, 1 ]에서 그러면 이제 닫힌구간 [ -2, 1 ]에서 f( -2) = 3이네요 그러면 이 점을 표시할게요 f( -2) = 3입니다 이 점은 여기에 있겠네요 그리고 f( 1)=6입니다 그러면 이 점은 여기에 있겠네요 이제, 연속인 함수를 그려봅시다 이 점을 지나면서 연속인 함수는 간단하게 생각했을 때 이 두 점을 있는 그래프를 화면에서 손을 떼지 않고 그리면 될거에요 이렇게 그러면 안되겠죠 이렇게 하면 화면에서 손을 뗀 것이니까요 연속인 함수니까요 그러면 이 사이의 점을 전부 지나게 되겠네요 그래프에서 볼 수 있듯이 3과 6 사이의 모든 점을 지난다는 것을 알 수 있어요 다른 값을 가질 수도 있지만 3과 6 사이의 모든 값을 지난다고 확실하게 이야기할 수 있어요 만약 4라는 값을 생각해본다면 4는 여기에 위치해 있을 거에요 그래프를 이렇게 그려서 y 절편에 있는 것 같기도 하네요 여기 x 축이라고 표시하는 것을 잊어버렸네요 이 그래프에서 볼 수 있듯이 f( c)=4를 만족하는 c가 -2와 1 사이에 있음을 알 수 있어요 그래프를 다르게 그려볼 수도 있어요 지금 그린 그래프와는 다르게도 그려도 상관은 없어요 지금 그린 그래프와는 다르게도 그려도 상관은 없어요 일단 이 그래프에서는 4라는 값을 가지는 x가 여러 개 존재하네요 이 값이 c가 될 수도 있는데 이 c도 -2와 1 사이에 위치하고 있어요 이 값도 c가 될 수 있는데 -2과 1 사이에 위치하고 있는 것을 볼 수 있어요 이 점도 c가 될 수 있는데 마찬가지로 -2와 1 사이에 위치하고 있고 이렇게 여러 값이 나온 것은 단지 그래프를 이렇게 그렸기 때문이에요 그냥 직선으로도 그래프를 그릴 수 있었어요 이렇게 그래프를 그리면 f(c)=4를 만족하는 c의 값이 단 하나만, 여기에서 존재하게 되겠죠 이 문장은 맞다고는 할 수 없어요 c가 3과 6 사이에 있어야 하는데 c가 3과 6 사이에 있어야 하는데 3과 6은 범위가 이 그래프와 일치하지도 않아요 3은 여기에 표시되어야 할 텐데 이 함수가 3과 6 사이에서 4라는 값을 가진다는 보장이 전혀 없어요 함수가 3과 6 사이에서 정의되어 있는지조차 알 수 없어요