중간값정리

이번 영상에서 다뤄볼 주제는 중간값 정리(또는 사잇값 정리)입니다 여러분이 보게될 여러 수학적인 용어에도 불구하고 앞으로 수학 경력을 쌓아가면서 마주하게될 이론 중 가장 직관적인 이론 중 하나일 것입니다 처음엔 그냥 한번 읽어보고 그 다음에 해석하겠습니다 그리고 모두가 이 정리는 명백하다고 인정하길 기원합니다 여기서 증명하진 않겠습니다 하지만 여기서 개념적 토대는 간단할 것입니다 이 정리는 함수 f 가 a와 b를 포함한 폐구간의 모든 점에서 연속인 경우를 가정합니다 폐구간 [a,b]의 모든 점에서 연속입니다 이 첫번째 줄을 바탕으로 함수 f가 어떻게 생겼을 지 몇가지 예를 들어보겠습니다 폐구간 [a,b]의 모든 점에서 연속인 함수 F를 가정해보자 좌표축을 그려보겠습니다 y축입니다 x축입니다 어떤 상황에서 이 부분이 점 a이고 이 부분이 점 b라고 합시다 f는 폐구간 [a,b]의 모든 점에서 연속입니다 즉, 모든 점에서 확실히 정의되어야 한다는 것입니다 마찬가지로, 연속이기 위해서는 모든 점에서 정의되어야 합니다 그리고 구간내의 임의의 점에 대하여 극한값과 함숫값이 서로 같아야 합니다 그래서 당연히 함숫값 f(a)는 정의되어질 것입니다 바로 여기에 함숫값 f(a)를 가질 것입니다 여기에 있는 이 점이 바로 함숫값 f(a)입니다 아마 함숫값 f(b)는 더 클 것입니다 비록, 다른 경우도 볼 수 있지만요 이 점이 바로 함수값 f(b)가 됩니다 정리에서 함수는 연속함수라고 했습니다 연속함수라고요 연속함수를 떠올려봅시다 떠올리는 한 가지 방법은 만약 구간 내에서 연속일 때 한 점에 대한 함숫값을 지정해줍니다 그리고 연속이라면 구간내 다른 점의 함숫값까지 함수를 표현할 때 연필을 들지 않고 그릴 수 있어야합니다 그래서 여러가지 함수를 그릴 수 있습니다 그리고 여전히 함수여야 합니다 이런건 할 수 없습니다 하지만 연필을 들지만 않는다면 모두 연속합수입니다 자, 여기있습니다 만약 어찌된 일인지 그래프를 그리는데 연필을 들어야한다면 이러한 함수를 그리는데 앗, 연필을 들어야 되네요 그렇다면 이 함수는 더이상 연속이 아닙니다 이런 함수를 그려야 되는데 앗, 연필을 들어야하네요 그러면 더이상 연속이 아닙니다 만약 이렇게 그려야 한다면 슈웅↗ 자 다시 연필을 들고 아래서부터 그리면 더이상 연속이 아닙니다 그래서 이런 것들이 바로 연속함수입니다 폐구간 [a,b]에서 연속인 함수의 모습입니다 사실 다른 예들도 그릴 수 있습니다 그려보겠습니다 하나를 그려보겠습니다 하나를 그려보겠습니다 함숫값 f(b)가 f(a)보다 작을 때를 그려보겠습니다 y축입니다 x축입니다 x축입니다 또 다시, a와 b 모두 양수일 필요는 없습니다 둘다 음수일 수도 있습니다 a가 음수이고 b가 양수일 수도 있습니다 그리고 만약 이 상황에서 함숫값 f(a)와 f(b) 모두 양수이거나 음수일 수 있습니다 하지만 이 점이 f(a)라는 상황을 가정해 보겠습니다 이 점이 f(a)입니다 이 점이 f(a)입니다 이 점이 f(b)입니다 이 점이 f(b)입니다 f(b)입니다 다시 한 번 말하자면 함수 f는 연속함수입니다 그러므로 f(a)에서 f(b)까지 연필을 들지 않고 함수를 그릴 수 있어야 합니다 이렇게 생길 수도 있습니다 사실 수직으로 하고 싶습니다 이렇게 그려지고 내려갔다가 다시 이렇게 그릴 수 있습니다 이 두 상황은 무한개를 그릴 수 있는 상황인 f가 구간 내 모든 점에서 연속인 함수를 그리는 상황 중 두 가지 경우입니다 폐구간 [a,b]에서요 중간값 정리를 서술하는 두 가지 방법이 있는데 두 가지 방법이 있는데 이 둘 중 하나의 종류로 서술될 수 있습니다 같은 내용입니다 그래서 이 두 가지를 모두 적었습니다 정리를 설명하는 한 가지 방법은 여기 쓰여진 첫 번째 설명이 맞다면 함수 f는 구간내에서 함숫값 f(a)와 f(b)사이의 모든 값을 함숫값으로 가질 것입니다 여기 보이는 것처럼 두가지 경우 모두 모든 구간, 죄송합니다 f(a)와 f(b)사이의 모든 값들이 이 부분의 모든 값들이 어떤 특정한 함수위의 점에 대응됩니다 어떤 값을 선택해서 어떤 임의의 값을 선택해서 이 부분을 L이라 합시다 보세요. L이 바로 여기 있습니다 L을 선택하면 L이 바로 여기에 있습니다 그리고 사실 여기도 있습니다 그리고 여기에서도 나타납니다 그리고 이 두 번째 문단에서는 중간값 정리를 이런 측면에서 설명하고 있습니다 함숫값 f(a)와 f(b)사이의 임의의 L에 대하여 f(c)=L을 만족하는 폐구간 [a,b]내의 c가 존재합니다 최소한 한 개의 c가 존재합니다 이 상황에서는 이 점이 바로 c가 됩니다 여기서는 잠재적으로 c가 될 수 있는 여러 후보들이 있습니다 이 점이 c의 후보가 될 수 있습니다 이 점이 c가 될 수 있습니다 최소한 한 개의 수가 존재한다고 말할 수 있습니다 최소한 한 개의 수 이 내용을 추가하겠습니다 f(c)=L 을 만족하는 최소한 한 개의 c가 구간내에 존재합니다 그리고 몇 분 동안 놀라게 할 내용은 첫 번째 설명에 대해서는 성립하지만 두 번째 설명에 대해서는 성립하지 않는 함수를 그려보겠습니다 성립하지 않는 함수를 그려보겠습니다 구간 내에 c가 존재하지 않는 L이 있다고 가정해봅시다 한 번 해봅시다 조금 더 크게 그려서 f(a)와 f(b)사이의 모든 값에 대해 명백한지 알 수 있게끔 해보겠습니다 그래서 이번엔 큰 축을 그리겠습니다 y축입니다 그리고 x축입니다 그냥 간단한 상황에 대해 해보겠습니다 이 점이 a고 이 점이 b입니다 이 점이 f(a)라고 해봅시다 이 점이 f(a)입니다 그리고 이 점이 f(b)라고 해봅시다 작은 점선을 그리면 좋습니다 함숫값 f(b) 여기 그려지는 함수가 연속함수하고 가정했습니다 그래서 f(a)에서 f(b)까지 그려지는 그래프는 연필을 떼지 않고 그릴 수 있습니다 이 좌표 (a,f(a))부터 이 좌표 (b,f(b))까지 연필을 떼지 않고 그릴 수 있습니다 자, 함수가 값을 취하지 않는 어떤 L이 있다고 가정해봅시다 여기에 L이 있다고 해봅시다 그리고 이 값은 절대 취하지 않을 것입니다 이 연속함수는 x는 a에서 x는 b까지 절대 이 값을 취하지 않습니다 이 함수를 그릴 수 있을지 봅시다 이 점에서부터 이 점에서부터 이 점까지 근본적으로 이 점선을 지나지 않고 닿을 수 있을지 봅시다 봅시다 슈웅↗ 잠깐 이쪽으로 가면 더 갈 수도 아니 어떻게 저기까지 갈 수 있을까요? 연필을 떼지 않고 어떻게 갈까요? 자 정말로 이 선을 지나야만 합니다 해냈습니다 L값을 폐구간 내의 c에서 값을 취하게 되었습니다 다시 한 번 말씀드리자면 여기서 증명하진 않을 것입니다 하지만 중간값 정리는 사실 상식 수준이라는 직감을 가졌길 바랍니다 핵심은 연속함수라는 것입니다 그래프를 그릴 때 점 (a,f(a))에서 점 (b,f(b))까지 그래프를 그릴 때 그리고 연필을 떼지 않는다면 연속 함수에 해당되면 f(a)와 f(b)사이의 모든 값을 취할 것입니다