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특정 x값에서 연속인 함수

동영상 대본

이 중 어떤 함수가 x=3에서 연속인가요? 저번 영상에서 말했듯이 이전의 예시에서 어떤 점에서 연속이기 위해서 적어도 그 점에서 정의되어야 합니다 연속의 정의를 공부했습니다 f 가 a에서 연속이기 위해서 x가 a로 수렴하면 f(x)의 극한값은 f(a) 이어야 합니다 이 경우에서는 함수가 연속이기 위해서 x=3 에서 함수 f 가 연속임은 x가 3으로 수렴할 때 f(x)의 수렴값이 f(3) 인것과 동치입니다 여기 첫 번째 함수를 봅시다 ln(x-3) 이제 계산을 해봅시다 f 가 아닌 g 입니다 g(3) 을 계산해봅시다 g(3) 여기에다 쓰겠습니다 g(3) 은 ln(0) 입니다 3-3=0 정의되지 않습니다 e를 거듭제곱해서 0이 될 수는 없습니다 음의 무한으로 가면 가까워질 수 있습니다 하지만 그건 정의되지 않습니다 x=3 일때 정의되지도 않기 때문에 연속이 될 수 없습니다 따라서 이건 제외시킬 수 있습니다 이제 함수 f(x) = e^(x-3)를 생각해봅시다 e^x 함수를 평행이동한 함수 입니다 실수 전체에 대해 정의됩니다 그리고 앞의 예제에서 보았듯이 실수 전체에 대해 연속이라고 할 수 있습니다 여기서 간단한 검증도 할 수 있습니다 x가 3에 수렴할 때 e^(x-3) 의 극한값은 e^(3-3) e^0 즉, 1이 됩니다 따라서 함수 f 만 연속입니다 그리고 다시 말하면 시각적으로 생각하는 것이 도움이 됩니다 이 함수 모두 lnx 를 평행이동한 형태이고 e^x 를 평행이동한 형태입니다 따라서 이 함수들을 그릴 수 있습니다 이건 y축 이고 이건 x축입니다 그리고 몇 개의 점을 표시하겠습니다 함수들은 평행이동된 형태이므로 함수를 그리기에 좋은 방법은 아닌 것 같습니다 그럼 다시 그려보겠습니다 5, 6, 7 y축은 다른 스케일로 그리면 1, 2, 3 이라 두고 1, 2, 3 여기에 이 곳에 점선을 그리겠습니다 따라서 g(x) ln(x-3) 은 이런 형태입니다 3에서 정의되지 않고 4를 넣으면 ln(4-3) 이 될 것입니다 그러면 이곳에 표를 그리겠습니다 x와 g(x)가 있고 3에서는 정의되지 않고 4에서는 ln(1) 0 이 됩니다 따라서 g(x) 는 이런한 형태가 됩니다 3에서 불연속 함을 알 수 있습니다 3의 왼쪽 부분은 정의되지도 않습니다 f(x) 는 조금 덜 복잡합니다 그러면 x=3 에서 f(3) = e^(3-3) 이므로 e^0 즉 1이 됩니다 이런 형태가 됩니다 여기에 도약이 없으므로 연속이 됩니다 따라서 3애서 연속인 함수입니다