모든 실수에서 연속인 함수

보기 중 어떤 함수가 실수 전체에서 연속인가요? 연속이 무엇인지 상기해보겠습니다 연속함수가 어떤 형태를 가지는지 생각해봅시다 연속함수는 이게 y축이고 이건 x축입니다 함수는 어떤 구간에 대해서 연속일 것이고 불연속점들이 없다면 구간에서 없다면 즉 연결되있다면 또한 구간에대해 정의되어 있어야 하고 불연속이 없으면 예를 들어 연속함수는 이렇게 생길 수 있을 것입니다 이 함수는 선을 두껍게 하겠습니다 여기 이 함수는 연속입니다 이 구간에서 연결되어 있습니다 불연속 함수의 예시는 틈과 같은 것이 있을 것입니다 점근 형태의 불연속점이 있을 수 있고 이런 형태로요 이 함수는 불연속이 됩니다 다른 예시로는 간격이 생길 수 있습니다 이렇게 말이죠 틈이 있는데 정의되지 않을 수도 있습니다 정의되지 않아 틈이 생길 수 있습니다 아니면 여기에 정의되어 있지만 떨어져 있어 불연속입니다 이런 함수들이 모두 불연속 함수의 예시입니다 수학적인 이해를 원한다면 함수 f가 연속이면 x=a 에서 연속이면 다음과 동치입니다 f(x) 의 극한값이 x가 a로 수렴할 때 극한값이 f(a) 와 같은 것과 동치입니다 다시 말해서 연속이기 위해서 적어도 여기서 정의되어야 합니다 이제 이걸 보면 실수 전체에 대해 연속이기 위해서 실수 전체에서 정의되어야 하고 g(x)는 실수 전체에 대해 정의되지 않습니다 음의 x에대해 정의되지 않습니다 따라서 이건 제외되고 이제 함수 f(x) = e^x 를 생각해봅시다 실수 전체에 대해 생각해봅시다 또한 여러분이 배웠을 일반적인 함수들은 특이한 도약이나 불연속이 없습니다 몇몇은 있습니다 1/x 와 같은 함수들이 그 예입니다 하지만 e^x 과 같은 식은 그러한 점이 없습니다 e^x 를 그래프로 그릴 수 있습니다 e^x 은 이런 형태를 가집니다 e^x 은 이런 형태를 가집니다 실수 전체에 정의됩니다 또한 도약과 같은 불연속이 없습니다 따라서 f(x) 는 실수 전체에 대해 연속입니다 f 만요 아직 엄밀한 증명은 하지 않았습니다 원한다면 할 수 있습니다 이 예제의 목적은 직관력을 위해 보다시피 e^x 는 실수 전체애 대해 정의되고 또한 도약과 같은 불연속이 없어 연속이라고 할 수 있습니다 엄밀한 증명도 할 수 있을 것입니다