구간에서의 연속성

이번 영상에서는 어떤 구간에 걸친 연속성에 대해 탐구해볼 겁니다 시작하려면 먼저 어떤 점에서의 연속성에 대해 기억을 되살려볼 거예요 함수 f는 x가 c일 때 연속됩니다 다음 전제 하에서만 말입니다 이 화살표는 명제가 다음 전제하에만 성립한다는 의미죠 x가 c에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값은 f(c)와 같습니다 우리가 이 개념을 처음 소개했을 때 기술적이고 복잡해 보였지만 사실 아주 직관적인 개념입니다 여기서 어떤 일이 일어나고 있는지 생각해 보세요 x가 c에 가까워질 때 f(x)의 극한값은 말입니다 x가 c에 가까워질 때 f(x)가 어떤 값에 가까워진다고 가정합시다 x가 왼쪽으로부터 가까워지고 있을 때 이 값을 향해 가까워집니다 오른쪽으로부터 가까워질 때는 이 값을 향해 가까워집니다 함수가 연속되려면 혹은 이 함수를 연필을 들지 않고 계속 그리려면 그 점에서의 함수값이 극한값과 같아야 합니다 이것은 단지 연필을 들지 않고 함수를 그릴 수 있어야 한다는 것보다 엄격한 의미입니다 즉 처음부터 끝까지 연결되어 있어야 하고 중간에 어떠한 형태의 도약이나 불연속성도 있어서는 안 됩니다 이 점을 이해했다면 이제 구간에 걸친 연속성에 대해 이야기해 봅시다 공간을 좀 더 확보하기 위해 이 내용들은 지우도록 할게요 먼저 열린 구간에 대해 이야기하고 그 다음 닫힌 구간에 대해 이야기해 봅시다 왜냐하면 닫힌 구간이 좀더 자세한 내용에 해당하거든요 함수 f가 열린 구간 a에서 b에 걸쳐서 연속된다고 합시다 여기서 대괄호가 아닌 소괄호가 사용되었는데 이것은 끝점이 포함되지 않는다는 것을 의미합니다 즉 이 구간은 x가 a일 때와 x가 b일 때 사이의 모든 점을 포함하지만 x가 a일 때와 b일 때의 두 점은 포함하지 않습니다 열린 구간에 걸쳐서 함수 f는 연속됩니다 다음 전제 하에 말입니다 f가 구간 내의 모든 점에서 연속된다는 전제 하에 성립합니다 이것에 대해 두 가지 정도의 예제를 들어봅시다 -7부터 -5까지의 열린 구간을 예로 들어봅시다 함수 f가 이 구간에 걸쳐 연속되나요? 우리의 구간은 -7에서 -5까지 이어집니다 이 문제를 푸는 데는 두 가지 정도의 방법이 있죠 먼저 수학적으로 그다지 엄격하지 않은 방법이 있어요 만약 여기에서 시작한다면 연필을 들었다 놓지 않고도 -5에 다다를 수 있는지 확인하는 겁니다 좀 더 철저한 방법을 택한다면 함수의 정의를 가지고 증명을 할 수 있습니다 x가 구간에 걸쳐있는 어느 점에 가까워지더라도 그에 따른 극한값이 해당 점에서의 함수값과 같다는 것을 증명하면 됩니다 그래프만 가지고는 증명하기 어렵습니다 그래프만 가지고 하려면 단순히 그래프를 관찰하고 연필을 들었다 놓지 않고도 이 점에서 저 점까지 이동할 수 있다는 것만 확인하면 그것으로 충분합니다 이제 다른 구간을 가지고 해 봅시다 여기 체크 표시를 해 놓읍시다 이 함수는 연속됩니다 -2에서 +1까지의 열린 구간에 대해 생각해봅시다 이 예제가 흥미로운 이유는 -2에서의 함수값이 여기 위에 있기 때문입니다 따라서 -2에서 시작하고 싶다면 이 지점에서 시작했다가 바로 아래로 점프해야 합니다 값이 -2보다 조금이라도 커졌을 때 말이죠 그리고 나서 계속하면 됩니다 하지만 이것은 열린 구간이니 값이 정확히 -2일 때 어떤 일이 일어나는지는 신경쓰지 않아도 됩니다 우리가 신경써야 할 부분은 값이 -2보다 커졌을 때 일어나는 일들입니다 이 지점에서 시작해서 1로 이동합니다 직관적으로 생각해보면 연필을 들었다 놓지 않고도 이동할 수 있었으니 이 함수는 해당 구간에 걸쳐서 연속된다는 것을 알 수 있습니다 그러면 어떤 구간에 걸쳐서 연속되지 않는 함수의 예는 무엇이 있을까요? 단도직입적인 예를 하나 들어봅시다 3에서 5까지 걸쳐있는 열린 구간을 고려해봅시다 x가 3일 때 함수값은 여기입니다 하지만 5를 향해 이동하면 점근하는 것처럼 보입니다 무한대를 향해 위로 점근하는 것처럼 보입니다 아주 긴 시간 동안 계속해서 말이죠 그러다가 연필을 들어 도약한 이후 다시 여기 아래로 내려와야 합니다 따라서 이 함수는 해당 구간에 걸쳐 연속되지 않습니다 좀 더 자세한 특징을 가진 구간에 대해 생각해 봅시다 좀 더 자세한 내용이 필요한 경우는 닫힌 구간에 대해 다룰 때입니다 함수 f는 닫힌 구간 a에서 b에 걸쳐서 다음 전제 하에 연속됩니다 참고로 이 구간은 a와 b 사이의 점들 뿐만 아니라 끝점까지도 포함합니다 다음 전제 하에 함수는 연속됩니다 함수 f가 열린 구간 a에서 b 사이에서 연속되야 합니다 그리고 한쪽 극한 역시 중요합니다 또한 x가 a에 오른쪽으로부터 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값이 f(a)이고 또한 x가 b에 왼쪽으로부터 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값이 f(b)여야 합니다 여기 무슨 일이 일어나고 있나요? 이것은 단지 구간 내에 있을 때 한쪽 극한이 함수값과 같은 값을 향해 가까워져야 한다는 뜻입니다 예를 들어 -7에서 -5까지의 닫힌 구간을 생각해 보면 합리적인 방법 하나는 연필 들었다 놓기 원리를 이용하는 겁니다 연필을 들었다 놓을 필요가 없습니다 구간의 끝점인 -7에서도 함수는 계속 연속됩니다 하지만 이 구간에서 함수가 정의되지 않았더라도 함수가 연속될 수는 있습니다 우극한은 여전히 존재할 수 있기 때문입니다 그리고 우극한이 함수값과 동일하며 이쪽 끝점에서 좌극한이 함수값과 같다면 이 구간에서 함수가 정의되지 않고 양쪽 극한이 정의되지 않더라도 상관없습니다 이러한 예제를 살펴봅시다 닫힌 구간을 예로 들어봅시다 참고로 구간 한쪽은 열려 있고 한쪽은 닫혀 있는 것도 가능하지만 지금으로써는 -3에서 -2까지의 닫힌 구간을 예로 들어봅시다 연필을 들었다 놓을 필요가 없었습니다 -3을 포함하였고 -2에 곧바로 다다를 수 있었습니다 함수의 분석 정의를 알고 있다면 -3과 -2 사이 모든 점에서의 극한값이 함수값과 같다는 것을 증명할 수 있을 겁니다 함수는 확실히 -3에 있을 때 연속되는 것을 볼 수 있습니다 양쪽 극한은 함수값을 향해 가까워집니다 하지만 -2에서는 양쪽 극한이 존재하지 않습니다 왼쪽에서 가까워질 때 0에 가까워지는 것처럼 보입니다 f(x)는 0입니다 오른쪽에서 가까워질 때는 f(x)가 -3을 향해 가까워지는 것처럼 보입니다 따라서 양쪽 극한이 존재하지 않더라도 좌극한이 존재한다면 함수는 연속될 수 있습니다 그리고 좌극한은 함수값을 향해 가까워집니다 즉 이 구간에 걸쳐서 함수는 연속됩니다 하지만 만약 -2에서 1까지의 닫힌 구간이라면 어떨지 영상을 정지하고 방금 이야기했던 내용을 토대로 스스로 고민해 보세요 이 구간에서도 함수가 연속되나요? 만약 -2에서 1까지의 닫힌 구간이라면 그리고 -2가 낮은 쪽의 끝점이라면 여기 이 명제는 참일까요? -2에 오른쪽으로부터 가까워지는 극한값이 f(-2)와 같은 값인가요? 오른쪽에서 가까워지는 극한값은 -3에 가까워지는 것처럼 보입니다 하지만 f(-2)는 0입니다 따라서 이 두 값들 즉 우극한의 값과 함수값은 동일하지 않습니다 따라서 이 명제는 성립하지 않고 -2에서는 한쪽 방향으로만 함수가 연속됩니다 이것 또한 맞아떨어집니다 -2에서 시작한다고 가정합시다 잘 보이는 색깔로 바꿔 볼게요 -2에서 시작해서 구간의 나머지 부분으로 이동하려면 연필을 들었다 놔야 합니다 연필을 들어서 여기로 이동한 후 계속 이동할 수밖에 없죠 따라서 함수는 이 구간에 걸쳐 연속되지 않는 겁니다