무한 극한이란?

이전 영상에서 이 두 그래프를 살펴보았습니다 왼쪽은 y = 1/x²의 그래프입니다 오른쪽은 y = 1/x의 그래프입니다 이 두 그래프에서 x가 0에 가까워질 때 극한값이 무엇인지에 대해 알아보았죠 왼쪽 그래프에서 x가 음수 방향으로부터 즉 왼쪽으로부터 0에 가까워지면서 1/x²의 값이 양의 방향으로 무한하게 커진다는 사실을 알았습니다 x가 오른쪽으로부터 0에 가까워질 때도 마찬가지입니다 x값이 점점 작아지지만 x값이 양수임은 바뀌지 않고 이에 따라 1/x²의 값은 양의 방향으로 무한히 커집니다 그래서 이전 영상에서는 이 극한값이 무한히 커진다고 결론을 내렸습니다 이번 영상에서는 새로운 표기법을 소개할 겁니다 그저 무한히 커진다고 말하는 대신 그래프의 왼쪽과 오른쪽 두 방향 모두에서 양의 무한대로 수렴하고 있다고 말할 수 있습니다 즉 이번 영상에서 소개할 표기법이란 "무한대로 수렴한다"이며 이 표기법이 종종 쓰이는 것을 볼 수 있을 겁니다 어떤 사람들을 이것을 무한히 커진다고 표현하고 어떤 사람들은 존재하지 않는다고 표현합니다 왜냐하면 유한한 값에 가까워지는 것이 아니니까요 반면 어떤 사람들은 소개한 표기법과 같이 극한값이 무한대로 수렴한다고 표현합니다 이 경우에는 어떨까요? 여기에서도 새로운 표기법을 사용할 수 있을까요? 왼쪽으로부터 0에 가까워질 때 함수값이 음의 방향으로 무한히 커지는 것처럼 보입니다 오른쪽으로부터 0에 가까워질 때 함수값이 양의 방향으로 무한히 커지는 것처럼 보이고요 여기서 극한값이 무한대로 수렴한다고 말할 수는 없습니다 왜냐하면 오른쪽 방향에서는 양의 무한대에 가까워지지만 왼쪽 방향에서는 음의 무한대에 가까워지고 있기 때문입니다 따라서 극한값이 존재하지 않는다고 봐야 합니다 한쪽 극한은 존재할 수도 있습니다 만약 한쪽 극한의 개념에 익숙하지 않다면 칸아카데미에서 그에 대해 복습하기 바랍니다 만약 x가 왼쪽으로부터 0보다 작은 값들을 거쳐 0에 가까워질 때 1/x의 극한값은 이 그래프에 보이는 것처럼 극한값은 음의 방향으로 무한히 커지고 있습니다 즉 극한값이 음의 무한대라고 볼 수 있습니다 만약 x가 오른쪽으로부터 0에 가까워질 때 1/x의 극한값은 양의 방향으로 무한히 커지고 있으니 극한값이 양의 무한대라고 볼 수 있습니다 칸아카데미의 예제 하나를 이러한 표기법과 개념을 이용해 풀어보도록 합시다 그래프 A, B와 C를 고려해 봅시다 점선은 점근선을 표기하고 있습니다 이 중 어느 그래프가 x가 1에 한없이 가까워질 때 함수 h(x)의 극한값이 무한대와 같나요? 영상을 정지하고 문제를 스스로 한 번 풀어보세요 자, 각 그래프를 하나씩 분석해 봅시다 x가 1일 때 무슨 일이 일어나는지 봐야겠죠 그래프 A에서 x는 이 지점에서 1이 됩니다 x가 1에 가까워질 때 한 번 식을 적어볼게요 각 그래프별로 하나씩 적어볼게요 그래프 A에서 x가 왼쪽으로부터 1에 가까워질 때 극한은 양의 방향으로 무한히 커집니다 즉 좌극한값은 양의 무한대입니다 x가 오른쪽으로부터 1에 가까워질 때 극한은 음의 무한대로 수렴하는 것 같습니다 즉 우극한값은 음의 무한대입니다 두 극한이 서로 다른 방향으로 진행하므로 x가 양쪽 방향 모두에서 1에 가까워질 때 극한값이 1이라고 할 수는 없습니다 그러니 이 그래프는 소거하도록 할게요 그래프 B로 넘어가 봅시다 x가 왼쪽으로부터 1에 가까워질 때 극한값은 무엇인가요? 여기에는 함수 h(x)가 물론 들어가야겠죠 적어 놓겠습니다 식의 이 부분에도 h(x)가 들어가야 하죠 왼쪽으로부터 가까워질 때 좌극한값은 양의 무한대입니다 오른쪽으로부터 가까워질 때 우극한값 역시 양의 무한대입니다 같은 방향의 무한대로 극한값이 모두 수렴합니다 그래프 B의 경우에는 말입니다 따라서 B는 문제에서 주어진 조건을 충족합니다 혹시 모르니 C도 확인해 봅시다 왼쪽으로부터 x가 1에 가까워질 때 좌극한값은 음의 무한대입니다 오른쪽 방향에서 가까워질 때 우극한값은 양의 무한대입니다 아까의 경우와 같이 두 극한이 같은 방향의 무한대로 수렴하지 않습니다 따라서 C 역시 소거해야 합니다