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주요 내용

무한 극한과 점근선

무한한 극한은 그래프에서 수직점근선을 가지고 무한대에서의 극한은 그래프에서 수평점근선을 갖습니다.

동영상 대본

이번 영상에서는 온라인 그래프 계산기인 Desmos를 이용해서 수직점근선과 수평점근선의 관계에 대해 알아보고 우리가 극한에 대해 기존에 알고 있던 지식과 어떤 관련이 있는지 알아볼 겁니다 먼저 1/x-1을 그래프로 그려봅시다 이 식을 그래프로 그려보면 x값이 1인 지점에서 흥미로운 일이 일어나는 것을 볼 수 있습니다 이 식에서 x에 1을 치환하면 2/0가 나오는데 0이 아닌 숫자가 분자고 0이 분모인 분수가 나오면 수직점근선이 생길 가능성이 높습니다 x가 1인 지점에 수직점근선을 그릴 수 있습니다 이것이 극한과 어떤 관련이 있는지 생각해 봅시다 x가 1에 가까워질 때 f(x)의 극한값이 2/x-1라면 이것에 대해 왼쪽과 오른쪽 두 가지 방향으로 생각해 볼 수 있습니다 좀 더 확대해 볼게요 만약 왼쪽으로부터 1에 가까워진다면 x가 0일 때 f(x)는 -2가 됩니다 그리고 x가 0.5일때 f(x)는 -4가 됩니다 그리고 x가 왼쪽 방향에서 1에 가까워질수록 함수값은 음의 방향으로 점점 더 커집니다 아직 함수 곡선이 점근선에 그리 가깝지도 않네요 만약 x가 0.91이 되면 1보다 0.09만큼 작은데 벌써 함수값은 -22.222가 되었습니다 따라서 왼쪽 방향에서 1에 가까워질 때 함수값은 음의 방향으로 무한히 커지며 즉 좌극한값은 음의 무한대인데 사실 이것은 정의되지 않는 극한이라고 봐야 하고 음의 방향으로 무한히 커지는 극한입니다 마찬가지로 오른쪽 방향에서는 양의 무한대 방향으로 무한히 커지며 기술적으로 봤을 때 극한값이 존재하지 않는다고 봐야 합니다 이것이 바로 수직점근선이 존재하는 경우입니다 이제 수평점근선이 생기는 경우와 비교해 봅시다 이 경우에는 극한값이 존재할 수 있습니다 그렸던 것들을 일단 지울게요 이제 이 함수를 한 번 살펴봅시다 상당히 깔끔한 함수인데 영상을 시작하기 전 제가 만든 함수입니다 꽤 멋지게 생겼네요 x가 무한대에 수렴하면서 어떤 일이 생기는지 생각해 봐요 x가 무한대에 수렴하면서 y값 혹은 함수식의 값이 3에 점점 가까워지는 것처럼 보입니다 따라서 이 경우에 y가 3이 되는 지점에서 수평점근선이 생깁니다 이를 좀 더 엄격하게 정의하자면 x가 무한대로 수렴할 때 극한값은 함수값과 같은 3이 됩니다 제 마우스의 경로를 보세요 x값이 커질수록 함수값은 점점 3에 가까워집니다 이제 정말 가까워졌습니다 보시는 것처럼 x값이 커질수록 y값은 3에 가까워집니다 이제 x가 음의 무한대에 가까워질 때 무슨 일이 일어나는지 생각해 봅시다 아래에서 위 방향으로 함수값이 3에 점점 가까워지고 있습니다 수평점근선의 흥미로운 점 중 하나는 함수가 수평점근선을 지나갈 수도 있다는 사실입니다 여기 보이는 것처럼 함수 그래프가 이 지점에서 수평점근선을 지납니다 양의 무한대나 음의 무한대를 향해 가까워지면서도 수평점근선을 중심으로 파동을 가질 수도 있습니다 이 식을 sin(x)에 곱해 볼게요 여기 보이는 것처럼 이제 함수가 수평점근선을 중심으로 파동을 가지게 됩니다 다시 강조하지만 극한값은 존재합니다 수평점근선을 계속 지나가면서도 x가 커질수록 파동이 점근선에 점점 가까워지고 있습니다 이것이 바로 수평점근선과 수직점근선의 중요한 차이입니다 수직점근선은 함수의 그래프가 절대로 지날 수 없지만 수평점근선의 경우에는 x가 양의 무한대나 음의 무한대로 진행하면서 점근선에 점점 가까워지게 됩니다