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극한의 엄밀한 정의 파트 4: 정의 사용하기

동영상 대본

지난 영상에서 ε-δ 법을 처음 소개했습니다. x가 C에 가까워질 때 f(x)의 극한값이 L이라면 f(x)와 L의 차이인 임의의 양수 ε에 대해 조건을 만족하는 δ가 존재해야 합니다 δ는 양수이며 x와 C의 차이를 의미합니다 즉 x와 C가 δ보다 가까우면 f(x)와 L은 ε보다 가까워야합니다 어떤 ε에 대해서도 δ가 존재한다면 x가 C로 갈 때의 극한값이 L이라고 할 수 있습니다 이 방법을 처음 접하면 추상적으로 느껴질 수 있습니다 예제에 적용해보며 어떤 식으로 증명이 이루어지는지 직접 해 보도록 합시다 f(x)는 위와 같이 정의됩니다 x ≠ 5 일 때 f(x) = 2x 이고 x = 5 일 때는 f(x) = x 입니다 곧 5가 됩니다 x = 5 인 점에 대해서만 f(x) = x 로 정의됩니다 이를 그래프로 그리면 y = 2x 의 그래프처럼 보이지만 x = 5 인 점은 직선 밖에 있습니다 대신 (5, 5)를 지납니다 대신 (5, 5)를 지납니다 x가 5로 갈 때 이 함수의 극한값을 직관적으로 찾아봅시다 x가 5로 다가감에 따라 f(x)는 10으로 다가가는 듯 합니다 따라서 다음과 같은 결론을 얻습니다 x가 5로 갈 때의 극한값은 10이 될 것이다 분명 직관적입니다 그렇지만 이 영상에서는 ε-δ 법을 이용한 증명을 다룰 것입니다 대부분의 증명에서 대략적인 δ를 정의하고 모든 ε에 대해 δ가 존재함을 보입니다 혹은 주어진 ε에 대해 δ를 ε의 함수로 표현합니다 모든 양수 ε에 대해 δ가 함수로 정의된다면 임의의 ε에 대해 함숫값으로부터 δ를 찾을 수 있습니다 x와 C의 거리를 구한 δ 안으로 좁혔을 때 함수값을 L로부터 ε 이내로 만들 수 있다면 극한을 증명한 것입니다 문제에서 C = 5 에 대해 5로부터 δ만큼의 구간을 5 - δ 와 5 + δ로 설정합시다 이 범위 내에서 대략적인 함숫값을 파악하고 δ를 표현할 적절한 함수를 ε를 이용해 나타내어야 합니다 그렇다면 주어진 범위 안에서 5를 제외한 점들을 어떻게 나타낼까요? 우리가 다루는 것은 5를 중심으로 한 구간일 뿐 5가 중요하지는 않습니다 5와의 차이가 δ보다 작다면 꼭 5가 될 필요는 없습니다 다시말해 5로부터의 거리가 δ보다 작은 수들을 다루는 것입니다 앞에서 정한 구간이기도 합니다 다음으로 진행할 과정은 부등식의 좌변을 조정하여 우변과의 연관성을 찾아내는 것입니다 부등식의 우변이 δ에 관한 식이므로 좌변과 결과식을 유사하게 만들면 δ와 ε 사이의 관계식 즉 δ를 ε에 대한 함수로 표현할 수 있습니다 표현할 수 있습니다 아직 헷갈리더라도 집중하세요 직접 확인해봅시다 그러면 x - 5 를 어떻게 변형해야 결과식과 비슷해질까요? x가 5가 아닐 때 2x가 10의 극한값을 가지길 원합니다 그러므로 조건식을 변형하여 2x - 10 을 만드는 것이 목표입니다 가장 쉬운 방법은 부등식에 2를 곱하는 것입니다 절댓값의 두 배는 두 배의 절댓값과 같기 때문입니다 절댓값이 a인 수에 두배를 하면 절댓값이 2a가 될 것입니다 두 배를 한 결과 좌변은 |2x - 10| 이 되고 이는 우변의 2δ보다 작을 것입니다 변형된 식의 좌변을 다르게 나타내 봅시다 2x는 x ≠ 5 일 때 f(x)와 같고 10은 목표하는 극한값입니다 그러므로 x ≠ 5 일 때 | f(x) - L | 로 바꿔쓸 수 있습니다 f(x)와 극한에 관한 식으로 바꾸어내었습니다 이제 만들어낸 식이 원래 의도했던 식과 상당히 비슷해졌습니다 우변을 살펴봅시다 각각 ε과 δ에 관한 식입니다 그럼 δ를 어떻게 설정하면 2δ = ε 이 될까요? 이젠 마무리 단계입니다 마지막 단계로 δ를 ε에 대한 함수로 표현하면 2δ = ε 이 되어야 하므로 δ = ε/2 가 될 것입니다 δ = ε/2 이 될 것입니다 δ 를 ε/2 로 설정하면 결과식의 좌변인 | f(x) - L | 은 2δ 보다 작을 것이고 이는 곧 2 × ε/2 ε 보다 작다는 의미가 됩니다 이것이 해답입니다 임의의 주어진 ε 에 대해 δ 를 ε/2 로 잡으면 원하는 범위 안에서 f(x)는 극한값 L로부터 ε 안에 들어오게 될 것입니다 이는 모든 양수 ε에 대해 성립해야 합니다 임의의 ε 에 대해 실제로 확인해 봅시다 극한값으로부터 거리를 0.5 이내가 되기를 원한다면 원하는 함숫값의 범위는 10 + ε 인 10.5 부터 10 - ε 인 9.5 까지가 될 것입니다 여기서 구한 식을 사용하면 δ 는 ε/2 이 되므로 0.25의 값을 가집니다 x의 범위는 4.75 ~ 5.25가 되고 이 범위에서 5가 아닌 어떤 x를 고르더라도 함숫값은 9.5와 10.5의 사이에 있을 것입니다 그러므로 모든 ε에 대해 구한 공식을 적용하여 δ을 구해낼 수 있습니다 이는 모든 양수인 실수로 확장할 수 있습니다 ε이 주어지면 식으로부터 δ를 구하고 똑같은 과정을 반복합니다 | x - 5 | 가 δ보다 작다면 δ의 정의에 의해 구하는 극한값으로부터 주어진 ε의 범위 안으로 함숫값이 들어가게 됩니다