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극한의 엄밀한 정의 파트 3: 정의하기

동영상 대본

지난 비디오에서 우리는 극한의 엄격한 정의가 무엇인지 여러분이 x가 c로 갈 때 f(x)의 극한값이 L이라고 말할 때 더 엄격한 정의에 따르면 f(x)를 원하는 만큼 L에 가깝게 하는 x의 범위가 항상 존재한다는 뜻 입니다 조금 더 살펴봅시다 원하는 만큼 가까이라는 표현 대신 어떤 양수 엡실론을 사용하겠습니다 앞으로는 그리스 문자 ε을 사용하겠습니다 이제 완전히 게임으로 바뀌었습니다 이것은 게임입니다 저에게 f(x)가 L에 얼마나 가까웠으면 하는지 얘기하고 f(x)가 L에 얼마나 가까운걸 바라는지를 나타내는 양수 ε을 줍니다 이제 여려분이 양수 ε를 주셨습니다 ε은 얼마나 L에 가깝길 바라는지를 의미합니다 예를 들어 만약 ε이 0.01이라면 f(x)가 0.01 이내에 있기를 원한다는 뜻 입니다 그러면 저는 수락하면 됩니다 그리고 여러분이 저에게 ε를 주셨다면 저는 다른 양수를 찾을 것입니다 델타라고 불리는 그리스 알파벳 소문자 δ입니다 δ는 C 로부터 δ 이내에 있는 임의의 x에 대해 f(x)가 L에서 ε 이내에 있다는 것을 의미합니다 이제 이것이 정말 같은 의미인지를 확인합시다 이 노란색 정의에 의하면 f(x)를 원하는 만큼 L에 가깝게 잡을 수 있습니다 x를 충분히 가깝게 잡아서 말이죠 이 두번째 정의는 좀 더 게임같이 만들어졌지만 같은 내용입니다 f(x)가 L에 얼마나 가깝기를 원하는지를 말하면 답변인 δ는 C 주위 δ 이내에 있는 임의의 x에 대해서 f(x)가 L에서 ε이내에 있도록 합니다 즉 이것도 같은 의미입니다 이 표현은 우리가 x를 제한하면 즉 x를 C 주변 특정 범위로 제한하면 f(x)가 원하는 만큼 가까워질 수 있음을 의미합니다 여기 그림을 통해서 더 분명하게 해봅시다 여러분이 나타나서 f(x)가 L에서 ε이내에 있기를 원한다고 하시면 이 지점이 L+ε 입니다 그리고 이 지점이 L-ε 입니다 그리고 여러분이 괜찮다고 하신다면 f(x)를 이 범위안에 있게 하는 x의 C 주변의 범위를 정할 수 있습니다 사실 이 경계는 바로 찾을 수도 있지만 이 경계보다도 더 좁게 하겠습니다 이렇게 말입니다 그럼 이제 여러분의 도전을 충족시켰습니다 이제 숫자 δ를 찾겠습니다 그러면 여기가 C+δ 가 됩니다 그리고 여기가 c-δ가 됩니다 그래서 저는 여러분께 어떤 δ를 찾아드리겠습니다 이때 여러분이 C-δ에서 C+δ 사이의 어떠한 x를 고르셔도 단 x를 고르실 때 f(x)가 c에서 정의되지 않을 수도 있으므로 C를 제외하고 C에 매우 가깝더라도 절대 C는 아닌 x를 고르신다면 만약 여러분이 이 범위 안에서 어떠한 x를 고르셔도 f(x)는 여러분이 원하는 범위 안에 있게 됩니다 즉 L+ε 에서 L-ε 사이에 있게 됩니다 그렇다면 이것을 표현하는 다른 방법은 무엇일까요? 일단 여러분이 저에게 ε을 주시면 저는 δ를 찾아드립니다 좀더 수학적인 표기법을 사용하겠습니다 똑같은 정확한 서술을 쓰면 수학이 살짝 들어가게 됩니다 하지만 완전히 똑같은 표현입니다 이렇게 쓰겠습니다 주어진 임의의 양수 ε에 대해 이게 게임의 첫번째입니다 우리는 어떤 양수 δ를 찾을 수 있습니다 이때 x가 C에서 δ 이내에 있게 됩니다 x가 C에서 δ 이내에 있다는 다른 표현은 무엇이 있을까요? 한 가지 방법으로는 x와 C의 거리가 δ보다 작다는 것입니다 이 서술은 C에서 δ 이내의 모든 x에 대해서 참입니다 두 수의 차이는 δ 보다 작습니다 그래서 여러분이 C-δ에서 C+δ의 범위에서 x를 고른다면 즉 이 부등식을 만족하는 x를 고른다면 f(x)와 L의 거리가 즉 | f(x)-L | 이 ε보다 작아지게 됩니다 결국 모든 것이 말하는 것은 만약 극한값이 정말 L이라면 어떠한 양수 ε을 주더라도, 또 ε이 아주 아주 작더라도 δ를 찾을 수 있다는 것입니다 즉 C 주위의 범위를 정의할 수 있다는 것입니다 여기서 우리가 C로부터 δ 이내에 있는 임의의 x라는 서술은 x와 C사이의 거리가 δ보다 작은 임의의 x 라는 표현입니다 이 부분이 C에서 δ 이내인 부분입니다 그리고 이러한 점들이 바로 여기 있습니다 그러한 x들에 대한 f(x)는 여러분이 명시한 범위 안에 있게 됩니다 즉 L에서 ε이내에 있게 됩니다 다시 말해 f(x)와 L사이의 차이는 ε보다 작아지게 됩니다 f(x)는 여기 어딘가에 있게 될 것입니다 이것이 엡실론-델타 정의가 우리에게 알려주는 것입니다 다음 비디오에서는 극한값이 존재한다는 것을 극한의 정의로 증명하겠습니다