극한의 엄밀한 정의 파트 2: 아이디어 세우기

수학적으로 엄격하게 이 기호를 정의해 봅시다 x를 c로 보낼때 f(x)가 c라는 극한값을 가진다는 것의 의미를 말입니다 이것은 f(x)를 여러분이 원하는 만큼 얼마든지 L에 가깝게 할 수 있다는 것을 의미합니다 이 부분을 따옴표 사이에 넣겠습니다 얼마나 가까운지에 대해서 다소 느슨하기 때문입니다 x를 충분히 c에 가깝게 잡는 것을 통해서 말입니다 그래서 이것의 다른 표현은 f(x)를 극한값의 주위 0.5이내에 들어가게 하고 싶다고 말했을 때 만약 극한값이 올바르다면 c 주변의 어떤 값을 저에게 넘겨줄 수 있어야 하는데 만약 x가 그 범위에 있다면 f(x)는 제가 원하는 만큼 L에 가까워야 한다는 것입니다 좀 더 명확하게 하기 위해 길게 설명드리겠습니다 클로즈업하겠습니다 다른 그림을 그리겠습니다 이 직선을 y축이라고 하겠습니다 클로즈업하겠습니다 살짝 다른 함수를 그려서 이 문장의 의미에 집중하겠습니다 c 주변의 범위나 L 주변의 범위 같은부분들 말입니다 여기가 x 고 여기가 y 입니다 그리고 여기가 c 라고 합시다 이제 우리의 함수에 집중합시다 우리의 함수가 이렇게 생겼다고 한다면 함수가 c에서는 정의되지 않았으면 좋겠습니다 가능은 합니다 정의되어 있어도 항상 극한값을 찾을 수는 있습니다 그래도 우리의 함수가 이렇게 생겼다고 합시다 그리다보니 살짝 구부러진 부분도 있습니다 이 함수의 그래프는 이렇게 생겼습니다 c에서는 정의되지 않았습니다 조금 다르게 그리겠습니다 x가 c일때는 함수가 정의되지 않았습니다 그러니까 여기가 구멍이 있는 곳이 되겠습니다 x가 c일때는 함수가 정의되지 않았습니다 심지어 작은 굴곡도 있습니다 저렇게요 우리가 하고 싶은 것은 f(x)의 x에 대한 극한값을 더 분명하게 합시다 이건 y=f(x)의 그래프입니다 이 정의가 말하는 것을 이해하는 것이 목표입니다 x가 c를 향할 때의 f(x)의 극한값이 L이라는 말의 의미를 말입니다 매우 개념적으로 우리는 이미 요지를 압니다 여기가 L이라는 사실을 말입니다 그렇다면 이 정의는 무엇을 말하는 걸까요? 이 정의는 여러분이 f(x)를 원하는 만큼 L에 가깝게 할 수 있다는 것을 말합니다 만약 여러분이 누군가에게 f(x)를 L 주변의 특정 범위에 넣고 싶다고 했을 때 만약 이 극한값이 정확하다면 즉 x가 c로 갈 때의 f(x)의 극한값이 정말 L이라면 분명 c 주변의 어떤 범위를 찾을 수 있을 겁니다 만약 x가 그 범위 안에 있다면 f(x)가 항상 여러분이 원하는 만큼 L에 가깝게 되는 범위를 말입니다 그럼 제가 그것을 해 보겠습니다 약간 게임 같은 느낌입니다 누군가가 여러분에게 와서 자신은 여러분이 하는 말을 믿을 필요도 없고 x가 c로 향할 때의 f(x)의 극한값이 L이라는 말을 확신하지도 않지만 정의에는 동의한다고 말했다고 해봅시다 그리고 0.5 이내를 제시합니다 여기가 되겠습니다 여기가 L+0.5이고 여기가 L-0.5 입니다 그러면 여러분은 괜찮다며 c 주위의 범위를 주겠다고 말합니다 그래서 만약 여러분이 x를 그 범위에서 고른다면 f(x)가 항상 원하는 범위에 들어가게 되는 것입니다 이걸 봐주세요 분명 우리가 명확하게 이 함수를 정의하지는 않았지만 눈대중으로라도 이 함수의 정의를 확인하실 수 있습니다 모든 함수에 대해서는 힘들겠지만 이 경우는 이렇게 보실 수 있습니다 그리고 여기 그린 이 값을 말한다면, 이 값을 c-0.25 라고 해봅시다 그리고 여기의 값을 c+0.25라고 합시다 그래서 여러분은 x를 c근처 0.25 이내에서 고른다면 즉 x를 이 근처 어디에서 고른다면 대응하는 f(x)는 그 범위에 있을 것이라고 말해 줄 수 있습니다 질문자가 처음 제시한 범위 안에 말이죠 그리고 여러분이 괜찮다고 하면 여러분이 그 라운드를 이기는 겁니다 여기서 조금 더 빽빽하게 만들어 보겠습니다 어쩌면 0.5 대신에 0.05를 범위로 줄 수도 있습니다 그려면 여러분은 이 과정을 다시 진행해서 다른 범위를 찾으시면 됩니다 이 명제가 참이라면 사람들이 어떤 범위를 주더라도 이를 만족하는 x의 범위를 찾을 수 있습니다 L근처의 어떠한 범위를 주더라도 f(x)를 그 범위 안에 있게하는 c주변의 범위를 구할 수 있어야 합니다 즉 x가 그 범위안에 있다면 f(x)가 항상 주어진 범위 안에 있게 되는 범위 말입니다 조금 더 생각할 시간을 드리겠습니다 생각할 것이 많으시겠지만 이해하셨기를 바랍니다 우리는 이 작업을 누군가의 특정한 예시로 해봤습니다 0.5를 주면서 f(x)가 L 주위 0.5이내에 있길 바란다면 여러분은 x가 c에서 0.25 이내에 있으면 만족할 것이라고 말씀하실 수 있습니다 여러분은 그 일을 다른 사람이 L 주위 어떤 범위를 주더라도 할 수 있어야 합니다 그러면 이 극한값이 확실해집니다 다음 비디오에서는 이것을 일반화 시켜보겠습니다 그것이 우리를 유명한 엡실론 델타 극한값 정의로 데려다 줄 것입니다