불연속의 종류

이번 영상에서는 다양한 종류의 불연속성에 대해 다뤄볼 것입니다 아마 여러분이 대수학이나 미적분 준비 코스를 할 때 본 적이 있을 거예요 이제 이를 양쪽 극한과 한쪽 극한에 연결시켜 볼 겁니다 불연속성의 종류에 대해 복습해 봅시다 여기 왼쪽의 그래프는 y = x² 그래프처럼 생겼습니다 x가 3에 도달하기 전까지는 말이죠 여기서 x는 3²이 되는 대신 이처럼 구멍이 생기게 됩니다 그리고 함수는 x가 3일 때 4의 지점에서 정의됩니다 그런데 그러다가 함수는 원래대로 계속됩니다 y = x²의 형태로 말입니다 이 지점을 없앨 수 있는 불연속성이라고 부릅니다 이름의 유래는 명확하죠 이 점에서 불연속성이 생기니까요 함수를 재정의함으로써 이 점에서 연속될 수 있게 해 볼 수도 있습니다 없앨 수 있는 불연속성이라면 말입니다 이것이 연속성의 정의와 어떻게 관련이 있을까요? 연속성의 정의에 대해 다시 되새겨봅시다 함수 f는 연속성을 가집니다 다음의 필요충분조건을 충족한다면 말입니다 연속함수 f(x)는 x가 c에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값이 x가 c일 때의 실제 함수값이랑 동일하다는 전제 하에 x가 c인 지점에서 연속성을 가집니다 그러면 이 함수는 왜 연속성을 가지지 못하나요? 양쪽 극한은 사실 존재합니다 c가 3이라고 가정한다면 x가 3에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값은 그래프를 통해 관찰해 보면 아, 그리고 이 그래프가 y = x²이라고 가정합시다 이 지점의 불연속성만 제외하고는 말이죠 그러면 이 극한값은 9입니다 여기서 문제는 이 그래프가 이 함수값과 같지 않다는 것입니다 함수값 f(3)은 그래프에 따르면 9가 아닌 4의 값을 가집니다 따라서 이것은 양쪽 극한이 존재하지만 함수값과는 다른 상황입니다 이것 말고도 함수가 해당 지점에서 정의되지 않는 상황도 생길 수 있습니다 이 점이 없는 것과 같죠 다시 말하자면 극한값이 존재하더라도 함수는 그 지점에서 정의되지 않을 수도 있습니다 둘 중 어느 경우이건 연속성의 조건을 충족하지 못합니다 이것이 바로 없앨 수 있는 불연속성입니다 왜 그것이 우리의 연속성의 정의에 있어서 불연속성으로 정의되는지 이제 알았을 것입니다 두 번째 예제를 봅시다 직관적으로 연속성을 테스트해 봅시다 이 그래프를 따라 쭉 내려갔을 때 x가 2에 도달하게 되면 연필을 들었다가 놔야 그래프를 계속 따라갈 수 있습니다 이것은 불연속성을 의미하는 신호입니다 여기서도 같은 현상을 볼 수 있습니다 이 함수를 계속 따라가려면 연필을 들었다가 놔야 합니다 이 지점으로 내려왔다가 다시 올라가서 그래프를 따라갈 수밖에 없습니다 둘 중 어느 경우이든 연필을 들었다가 놔야 합니다 직관적으로 봤을 때도 불연속성을 알 수 있습니다 하지만 이 특정 불연속성의 경우에는 한 점에서 도약, 혹은 비약하여 아래의 점으로 이동해야 그래프가 계속됩니다 직관적인 유래에 따라 이는 비약 불연속성이라고 불립니다 이는 물론 없앨 수 있는 불연속성에 해당합니다 이것이 극한과 어떻게 관련을 가질까요? 여기에서 좌극한과 우극한이 존재하지만 두 극한값은 서로 다릅니다 따라서 양쪽 극한이 존재하지 않습니다 예를 들어 이 함수는 2 이하의 x값에서는 y = x²의 그래프를 가집니다 x값이 2보다 클 때에는 √x의 그래프를 가집니다 이러한 시나리오에서 x가 2에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값을 구해본다면 좌극한인 경우에 이 극한값은 4일 것입니다 여기 이 값을 향해 가까워지니까요 이것은 함수의 실제 값이기도 합니다 하지만 x가 2에 한없이 가까워지는데 이것이 우극한이라면 극한값은 무엇일까요? 오른쪽으로부터 가까워지니 이것은 √x이고 따라서 √2에 한없이 가까워지게 됩니다 이것이 √2라는 것을 그래프만 보고 알 수는 없습니다 제가 Desmos에서 이 함수를 정의할 때 그렇게 정의했기 때문에 저는 알고 있지만 말이죠 하지만 그래프만 봤을 때도 좌극한과 우극한이 서로 다른 극한값을 가진다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 따라서 한쪽 극한들이 존재하더라도 같은 극한값을 향해 가까워지지 않고 있습니다 따라서 양쪽 극한은 존재하지 않습니다 양쪽 극한이 존재하지 않는다면 함수의 그 지점에서의 실제 값과는 당연히 다를 것입니다 함수가 정의되어 있더라도 말입니다 이것이 비약 불연속성이 연속성의 조건을 충족하지 못하는 이유입니다 다시 강조하지만 직관적으로 이해할 수 있습니다 여기서 연필을 들었다가 놔서 도약을 해야 되니까요 이 두 곡선은 서로 연결되어 있지 않습니다 여기서 보고 있는 이것은 미적분의 준비 코스에서도 배웠던 점근적 불연속성이라고 합니다 점근적 불연속성 직관적으로 봤을 때 여기 점근선이 있습니다 x가 2일 때 수직점근선이 있습니다 그래프를 왼쪽으로부터 쭉 따라가 보면 계속해서 따라가게 됩니다 영원히 따라갈 수 있습니다 왜냐하면 범위가 무한하고 계속 가면 갈수록 왼쪽으로부터 2에 무한히 가까워지기 때문입니다 x가 2일 때 우극한의 경우에는 영원히 위쪽으로 향하게 됩니다 제가 계속 이 그래프를 따라가 보더라도 그래프가 무한하게 계속되기 때문에 우리 생애 내에서 이 그래프를 끝까지 따라가는 것은 불가능하죠 하지만 여기서 여러분이 이해해야 하는 것은 이 지점에서 이 지점까지 연필을 들지 않고서는 갈 수 없고 우리의 극한의 정의와 관련지어 본다면 좌극한과 우극한 모두 무한하므로 두 극한값 모두 존재하지 않는다고 볼 수 있습니다 극한값이 존재하지 않으면 조건 또한 맞출 수 없죠 x가 왼쪽으로부터 2에 한없이 가까워질 때 f(x)는 음의 방향으로 무한히 진행하는 것을 볼 수 있습니다 이런 수를 본 적이 있을지 모르겠네요 마이너스 무한대 말입니다 완전히 정확한 표현은 아니지만 말입니다 보다 정확하게는 무한하다고 표현하는 것이 맞습니다 무한하다 이와 마찬가지로 x가 오른쪽으로부터 2에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값은 플러스 무한대를 향해 무한히 가까워집니다 아까와 마찬가지로 이 극한값 역시 무한합니다 그리고 이 식이 무한하고 극한값이 존재하지 않으므로 이 조건을 맞출 수 없습니다 따라서 불연속성을 가집니다 즉 이것은 없앨 수 없는 불연속성입니다 비약 불연속성, 즉 도약해야만 연속되는 함수가 있는가 하면 이처럼 수직점근선이 있는 경우도 있습니다 이것을 점근적 불연속성이라고 부릅니다