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주요 내용

삼각함수의 극한

다른 함수처럼, 대입하여 삼각함수의 극한을 구할 수 있습니다.

동영상 대본

이번 영상에서는 삼각함수의 극한에 대해 생각해 볼 겁니다 직설적인 예부터 시작해 보죠 x가 𝛑에 한없이 가까워질 때 sin(x)의 극한값을 구해봅시다 영상을 정지하고 한 번 스스로 구해보세요 sin(x)와 cos(x) 두 함수 모두 모든 실수에 대해 정의되므로 두 함수의 정의역은 모든 실수입니다 즉 x에 어느 실수값을 집어넣어도 어떤 값을 내놓을 겁니다 함수가 정의되었다는 의미죠 이 함수들은 또한 정의역 전체에 걸쳐 연속됩니다 사실 모든 삼각함수들은 정의역 전체에 걸쳐 연속됩니다 따라서 sin(x)는 연속함수이고 x값이 𝛑일때 정의되므로 이것은 즉 𝛑의 사인값은 이미 알고 있다시피 0과 같습니다 이제 cos(x)에 대해서도 비슷한 연습을 해 볼 수 있겠죠 x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때 극한값을 찾으려면 임의의 각 𝛑/4에 x가 한없이 가까워질 때 cos(x)의 극한값은 무엇일까요? 아까와 마찬가지로 cos(x)는 모든 실수에 대해 정의되므로 x는 어떤 실수이든 될 수 있습니다 cos(x)는 또한 연속함수입니다 따라서 cos(x)의 극한값은 𝛑/4의 코사인값일 거고 그 값은 곧 √(2)/2입니다 유용하게 쓰이는 사인 코사인 특수값 중 하나죠 도의 단위로는 45도와 같습니다 통상적으로 사인이나 코사인을 다룰 때 x가 a에 한없이 가까워질 때 sin(x)의 극한값은 sin(a)와 같습니다 다시 강조하지만 이 명제는 모든 실수 a에 대해 참입니다 비슷한 명제를 cos(x)에 대해서도 만들 수 있어요 x가 a에 한없이 가까워질 때 cos(x)의 극한값은 cos(a)와 같습니다 계속 강조했지만 이것은 두 함수의 정의역이 모든 실수이기 때문입니다 즉 두 함수들은 모든 실수에 대해 정의되어 있고 정의역 전체에 걸쳐 연속성을 갖기 때문입니다 이제 좀더 특징적인 삼각함수들 혹은 모든 실수에 대해 정의되지 않거나 정의역이 좀더 제한적인 함수들을 다뤄봅시다 아주 조금 더 제한이 생기는 거죠 x가 𝛑에 한없이 가까워질 때 tan(x)의 극한값을 구해봅시다 과연 극한값이 얼마일까요? 이것은 x가 𝛑에 한없이 가까워질 때의 극한값과 동일합니다 tan(x)는 sin(x) / cos(x)이죠 사인과 코사인 모두 파이에 대해 정의되므로 그냥 𝛑를 치환하면 됩니다 분모에 0이 생기지 않도록 주의해야 합니다 그러면 함수가 정의되지 않으니까요 sin(𝛑) / cos(𝛑)는 0 / -1입니다 이건 상관없습니다 만약 -1 / 0이었다면 골치 아픈 일이었겠죠 하지만 이 경우 나눗셈의 값은 0입니다 그러니 상관없습니다 하지만 x가 𝛑/2에 한없이 가까워질 때 tan(x)의 극한값은 무엇일까요? 영상을 정지하고 스스로 한 번 구해보세요 생각해 보세요 이것은 x가 𝛑/2에 한없이 가까워질 때 sin(x) / cos(x)의 극한값입니다 𝛑/2의 사인값은 1이지만 𝛑/2의 코사인값은 0입니다 따라서 이 값들을 치환한다면 1 / 0이 나옵니다 즉 𝛑/2는 tan(x)의 정의역에 포함되지 않습니다 따라서 이 극한값은 존재하지 않습니다 통상적으로, 사인, 코사인 탄젠트, 코시컨트, 시컨트 혹은 코탄젠트를 다룰 때 만약 우리가 극한을 정의역 안의 어떤 점으로 정한다면 어떤 함수의 극한값은 정한 그 점에서의 함수값과 동일합니다 만약 극한을 정의역 밖의 점으로 정한다면 만약 극한을 정의역 밖의 점으로 정한다면 극한값이 존재하지 않을 확률이 큽니다 따라서 이 경우에도 극한값은 존재하지 않습니다 이것을 예측하는 방법은 𝛑/2가 tan(x)의 정의역 밖에 있다는 사실을 알아내는 거죠 tan(x)를 그래프로 그려보면 𝛑/2에서 수직점근선이 존재한다는 것을 알게 될 겁니다 한 번 더 연습해보죠 x가 파이에 한없이 가까워질 때 cot(x)의 극한값을 구해봅시다 영상을 정지하고 스스로 한 번 구해보세요 다음과 같이 생각해 볼 수 있습니다 cot(x)는 1 / tan(x)이므로 cos(x) / sin(x)입니다 x가 𝛑에 한없이 가까워질 때 여기 이 함수의 극한값을 구해야 합니다 𝛑가 cot(x)의 정의역 안에 있나요? 그렇지 않습니다 𝛑를 치환해 보면 -1 / 0이 나오죠 따라서 cot(x)의 정의역 밖에 있습니다 그래프를 그려보면 이 지점에 수직점근선을 볼 수 있습니다 따라서 극한값이 존재하지 않습니다 아까와 같이 이 값은 정의역에 포함되지 않으니 극한값이 없을 확률이 큽니다 한없이 가까워지는 값이 삼각함수의 정의역에 포함된다면 함수의 극한값이 정의됩니다 사인과 코사인은 특히 모든 실수에 대해 정의되며 또한 모든 실수에 대해 연속됩니다 극한을 어느 실수로 정해도 극한값이 정의될 것이고 극한값은 해당 극한에서의 함수값과 동일합니다