할선 : 심화 문제 1

세 점을 지나는 함수의 그래프가 주어져 있습니다 이 세 점을 지나는 푸른선이 f(x)의 그래프입니다 다음 중 옳은 보기를 고르십시오 총 세 개의 문항이 있군요 첫 번째 부등식을 봅시다 증명하기 까다로운 듯 하군요 증명하기 까다로운 듯 하군요 이를 어떻게 증명할 지 생각해 봅시다 처음부터 분석하며 풀어나가 봅시다 f(-a)의 점을 그래프에서 찾아보면 ( -a , f(-a) )인 점을 지납니다 x가 -a일 때 함숫값으로 f(-a)를 가지는 점 ( -a , f(-a) )입니다 y 좌표가 f(-a)가 될 것입니다 그래프에서 f(-a)에 대해 0과 1 사이의 값을 가짐을 알 수 있습니다 부등식으로 나타내면 f(-a)는 0보다는 크고 1보다는 작습니다 지금으로써는 f(-a)에 관해 주어진 유일한 정보입니다 우변에 나타낸 항은 상당히 복잡합니다 한눈에 연관성을 찾기에는 까다로운 값입니다 그렇지만 평균변화율을 계산하면 그래프에서 주어진 값을 찾을 수 있습니다 점 ( -a , f(-a) )와 점 ( 0 , 1 ) 사이를 이은 선분의 기울기를 계산해봅시다 y값의 변화량은 두 y값의 차인 1 - f(-a) 가 됩니다 또 두 점의 x좌표는 0에서 -a로 변하였으므로 변화량은 a입니다 그러므로 이 비율이 x값 변화량에 대한 y값 변화량이고 두 점 사이의 평균 변화율입니다 평균 변화율은 곧 두 점을 이은 선분의 기울기입니다 그래프에 표시하면 다음과 같습니다 그려진 선분의 기울기가 x = -a 와 x = 0 사이에서 f(x)의 평균 변화율입니다 주어진 문항과 관련하여 그래프에서 얻을 수 있는 정보는 어떤 것일까요? 특히 0과 1에 주목하여 그래프를 살펴봅시다 먼저 기울기가 1인 직선은 다음과 같을 것입니다 기울기가 1이며 점 ( 0 , 1 )을 지나는 직선을 그려보겠습니다 시작점을 ( -1 , 0 )으로 하여 ( 0 , 1 )을 지나게 그리면 기울기가 1인 직선이 됩니다 기울기가 1인 직선이 됩니다 기울기가 1인 초록색 직선과 주어진 기울기를 갖는 파란색 직선을 비교하면 확연한 차이가 보입니다 둘의 기울기를 보았을 때 파란색 직선의 기울기가 초록색 직선의 기울기보다 즉 1보다 커보입니다 상승속도가 더 빠르므로 기울기가 크다고 할 수 있습니다 그래프에서 파란색 직선이 x = -a 와 x = 0 인 점을 지나며 기울기는 1보다 큼을 알 수 있습니다 알 수 있습니다 우변의 이 값이 1보다 큽니다 좌변의 값은 1보다 작고 좌변의 값은 1보다 작고 우변의 값은 1보다 큽니다 따라서 좌변이 우변보다 작습니다 첫 번째 문항은 옳은 보기입니다 두 번째 문항에도 역시 앞서 구한 기울기가 좌변에 있습니다 좌변에 있습니다 좌변의 값은 파란색 직선의 기울기임을 잘 기억해둡시다 우변의 값 또한 어떤 직선의 기울기일 것입니다 두 점 ( 0 , 1 )과 ( a , f(a) )를 주황색으로 이은 선분의 기울기가 우변과 같습니다 두 기울기를 비교하면 파란색 직선이 주황색 직선보다 더 큰 기울기를 가집니다 그렇지만 보기에는 파란색 직선의 기울기가 더 작다고 서술하므로 옳지 않은 보기입니다 마지막 보기의 좌변은 2a 분의 f(a) - f(-a) 입니다 이를 기울기로 갖는 직선을 그리면 그래프가 지나는 두 점 ( -a , f(-a) )와 ( a , f(a) )를 이은 선분이 될 것입니다 y값의 변화는 f(a) - f(-a)이고 x값의 변화는 a - (-a) = 2a입니다 두 점을 지나는 선분을 갈색으로 그려보겠습니다 보기에서 비교하는 두 값은 갈색 직선의 기울기와 주황색 직선의 기울기입니다 한눈에 보기에도 갈색 직선이 주황색 직선에 비해 더 큰 기울기를 가집니다 앞의 결과로부터도 갈색 직선의 기울기가 큼을 추론할 수 있습니다 처음 x = -a에서 시작하여 빠르게 증가하다가 주황색 직선의 기울기로 느려집니다 따라서 평균 기울기가 작아진 기울기보다 더 큽니다 좌변이 우변보다 크므로 틀린 보기입니다 두 번째와 세 번째 보기 모두 부등호가 반대여야 참이 됩니다 둘 모두 좌변이 우변보다 큰 값을 가집니다 따라서 첫 번째 문항만 정답입니다