임의의 간격에 대한 할선

이 할선은 y=lnx의 그래프와 두 점에서 교점을 갖는데 x좌표가 2와 2+h입니다 이 할선의 기울기는 뭘까요? 우리에게 두 가지 점이 주어져 있습니다 직관적이지 않을 수 있으나 x가 2입니다 x가 2일때 y는 얼마일까요? y는 ln x이기 때문에 이 경우에서 이것은 ln 2가 될 것입니다 만약에 x가 2+h라면, y는 뭘까요? y는 x의 자연로그가 될것입니다 따라서 이것은 ln(2+h)가 될겁니다 따라서 이것들이 두 점이 될 것입니다 이 점들은 할선과 곡선의 교점 이므로 선 위의 두 점을 안다면 그 선의 기울기를 알 수 있습니다 기울기가 x의 변화량 분의 y의 변화량이라는 것을 생각하면 기울기가 어떻게 될까요? 우리는 두 번째가 끝점이라 보면 y의 변화량이 2에서 2+h까지 가므로 y의 변화량을 알 수 있습니다 ln(2+h)-우리의 시작점 혹은 끝점의 y 값 빼기 시작점의 y 값 ln2 x의 변화량 x의 변화량은 끝점의 x 값이 2+h 빼기 시작점의 x 값 즉 빼기 2 그리고 2는 당연히 상쇄됩니다 여기서 보면 우리가 적은 것과 동일하다 여기에 있는 값 ln(2+h) 빼기 ln2 나누기 h 만약에 이것을 시각화하고 싶다면 그려볼 수도 있다 그래프를 그릴 공간이 있다면 할선을 이렇게 그릴 수 있다 y축을 그려보고 x축을 그려보겠습니다 y=lnx는 다음과 같이 보일 것이고 그려본다면 이런 형태를 띨 것입니다 손으로 그리기에 잘 그리지는 못합니다 2, ln2라는 점을 본다면 이것에 의해 이것이 2이고, 이것이 ln2이므로 이것이 (2, ln2)입니다 그리고 이곳에 2+h라면 2+ 어떠한 것 그것이 2+h라 합시다 이것은 우리가 그래프에서 봐야 할 곳입니다 이것이 2+h가 되고 ln(2+h)가 되므로 우리가 한 것은 이 선분의 기울기입니다 선은 이렇게 보일 것이고 우리가 얻은 방법대로하면 y의 변화량이 뭘까요? 변화량은 y=ln2부터 y=ln(2+h)까지 이므로 우리의 y 값의 변화량을 구해보면 ln(2+h) 빼기 ln2입니다 -ln(2)이고 우리의 x 변화량은 뭘까요? 2+h에서 2까지 갔으므로 x의 변화량은 h입니다 따라서 우리는 2에서 2+h까지이고 x의 변화량은 h입니다 따라서 할선의 기울기는 할선의 기울기는 우리의 그래프를 두 점에서 교차하고 x의 변화량 분의 y의 변화량이므로 여기서 구한 것처럼 구할 수 있습니다