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곡선에 있는 할선의 기울기

동영상 대본

대수 시간에 배웠던 기울기에 대해 생각해봅시다 기울기는 변화율입니다 x에 대한 y의 변화율이요 또 선의 경사를 이용해서 직접 구할 수도 있습니다 경사가 커질수록 기울기도 커지는데요 여기서 기울기는 양의 값을 가지는데 x가 증가함에 따라 같이 증가합니다 더 큰 경사를 가진다면 x가 증가함에 따라 더 많이 증가하고 더 큰 기울기를 가지게 됩니다 이제 두 점 사이의 기울기를 구해봅시다 두 점은 선을 뜻합니다 x에 따른 y의 변화량을 이 두 점을 가지고 구할 수 있습니다 임의의 두 점을 잡아볼까요 이 점의 X 값을 X0 라 합시다 X = X0 일 때 Y = Y0 입니다 따라서 이 점의 좌표는 (X0, Y0) 이죠 다른 한 점을 잡아봅시다 이 좌표의 X 값은 X1 이라 합시다 그러면 Y 값은 Y1 입니다 따라서 이 점의 좌표는 (X1, Y1)가 되죠 지금까지는 복습이었습니다 두 점을 잡아 만든 선의 기울기는 일정하다는 정의 말입니다 직선의 기울기는 m으로 표현합니다 x에 따른 y의 변화량 x가 변화함에 따라 y는 얼마나 변하는지 즉, △y를 △x로 나눈 것입니다 이 삼각형 기호는 그리스 문자인 델타 입니다 이 기호는 변화량을 의미합니다 생각해봅시다 이 부분을 x의 이동 경로를 보면 X0 에서 X1로 이동 중입니다 여기가 x의 이동 범위입니다 X0 에서 시작해 X1으로 갑니다 이게 x의 변화입니다 이 핑크색은 x 의 변화를 의미합니다 식으로 표현하면 어떻게 될까요 끝나는 점에서 시작하는 점을 빼줍시다 따라서 X1 - X0 입니다 그리고 양의 값을 만들기 위해 X1 > X0 라 합시다 그럼 y는 어떻게 표현할까요? 다시 반복해서 끝에서 처음을 빼줍시다 Y1 - Y0 그러면 궁금할 수 있는데 처음에서 끝을 빼면 틀린걸까요? 전혀 그렇게 해도 됩니다 분자와 분모 모두 음수가 나오지만 무시할 수 있습니다 일관성을 가지는게 중요합니다 끝에서 처음을 빼던지 처음에서 끝을 빼던지 일관성을 가져야 합니다 이 식은 대수 시간에 봤을 것입니다 기울기의 정의인 x 변화량에 따른 y 변화량은 x 축과 y 축 상에서 변화율로도 구할 수 있습니다 그럼 이제 새로운 문제를 풀어봅시다 지금까지는 직선에서 다뤘습니다 일정한 기울기를 가진 직선 선 위에 두 점을 찍어 계산하면 일정한 상수가 나옵니다 그럼 곡선일때는 어떻게 할까요? 이제 비선형 곡선을 생각해봅시다 그 곡선이 이렇게 생겼다고 합시다 그럼 여기서 x에 대한 y의 변화량은 어떻게 될까요? 다른 시점에서 생각해봅시다 적어도 근사는 할 수 있을 것입니다 임의의 한 점을 잡아봅시다 이 점의 좌표는 (X1, Y1) 입니다 곡선 위의 다른 점을 잡아 (X2, Y2) 이라 합시다 (X1, Y1), (X2, Y2) 두 점을 잡습니다 아직은 할 수 있는게 없습니다 이 점에서 기울기는 어떻게 구할까요? 대수적으로 생각해보면 X1 에서 X2 까지 간격의 평균 변화량은 얼마일까요? 평균 변화량이 무엇일까요 y 변화량을 △y 라 하고 x 변화량을 △x 라 합시다 이제 같은 방법으로 계산 가능합니다 분모는 X2 - X1 이고 분자는 Y2 - Y1 입니다 △y = Y2 - Y1 △x = X2 - X1 두 점 사이의 변화량만 알면 기울기를 구할 수 있습니다 이 값은 X1과 X2에서의 평균 변화율과 같습니다 이 값은 x 에 따른 y의 평균변화율과도 같습니다 이 직선의 기울기를 알고 있으니 두 점을 연결해봅시다 곡선과 2개의 교점이 있는 이 직선을 뭐라고 부를까요? 외선이라 부릅시다 기울기의 개념을 확장한 아이디어 알고 있던 직선의 기울기 구하는 방법으로 곡선의 기울기를 구했습니다 이제 적어도 곡선의 평균변화량은 구할 수 있습니다 외선의 기울기를 구하는 방법과 같습니다 약간의 설정으로 모든 것이 해결됩니다 결과적으로 평균 뿐 아니라 순간변화량도 구할 수 있습니다 임의의 점을 잡고 그 점과 매우 가까운 다른 점을 잡아 연결하면 외선이 생기는데 이건 이 점에서의 순간 속도 변화라 볼 수 있습니다 혹은 접선의 기울기라 볼 수 있습니다