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μ›Ή ν•„ν„°κ°€ μ˜¬λ°”λ₯΄κ²Œ μž‘λ™ν•˜μ§€ μ•ŠμœΌλ©΄ 도메인 *. kastatic.orgκ³Ό *.kasandbox.org이 μ°¨λ‹¨λ˜μ–΄ μžˆλŠ”μ§€ ν™•μΈν•˜μ„Έμš”.

μ£Όμš” λ‚΄μš©

y=𝑒ˣ/(2+xΒ³)의 μ ‘μ„ 

(1,e/3)μ—μ„œ y=eΛ£/(2+x³)의 μ ‘μ„ μ˜ 방정식을 ꡬ해 λ΄…μ‹œλ‹€. λ§Œλ“  이: μ‚΄λ§Œ μΉΈ μ„ μƒλ‹˜

λ™μ˜μƒ λŒ€λ³Έ

μ΄λ²ˆμ— κ°€μ Έμ˜¨ 곑선은 (e^x)/(2+xΒ³)μž…λ‹ˆλ‹€ μš°λ¦¬κ°€ μ›ν•˜λŠ” 것은 x=1μ—μ„œμ˜ μ ‘μ„ μ˜ 방정식을 κ΅¬ν•˜λŠ” κ²ƒμž…λ‹ˆλ‹€ x=1일 λ•Œ y=e/3이 λ©λ‹ˆλ‹€ yμ’Œν‘œλŠ” e/3μž…λ‹ˆλ‹€ 이 μ μ—μ„œ μ ‘μ„ μ˜ 방정식을 λ– μ˜¬λ € λ΄…μ‹œλ‹€ μž μ‹œ λ©ˆμΆ”κ³  κ³ λ―Όν•΄λ³΄μ„Έμš” μš°μ„  이 μ μ—μ„œμ˜ μ ‘μ„ μ˜ κΈ°μšΈκΈ°λŠ” 이 μ μ—μ„œμ˜ λ„ν•¨μˆ˜μ˜ ν•¨μˆ«κ°’μ΄ 될 것 μž…λ‹ˆλ‹€ κ·ΈλŸ¬λ―€λ‘œ μš°μ„  이 ν•¨μˆ˜μ˜ λ„ν•¨μˆ˜λ₯Ό κ΅¬ν•΄μ„œ (1,e/3)λ₯Ό λŒ€μž…ν•©μ‹œλ‹€ 그러기 μœ„ν•΄μ„œ 이 식을 λ‹€μ‹œ μ κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ λ¬Όλ‘  λΆ„μˆ˜μ‹μ˜ 미뢄을 μ‚¬μš©ν•΄λ„ λ˜μ§€λ§Œ 항상 λΆ„μˆ˜μ‹ λ―ΈλΆ„ 곡식을 μžŠμ–΄λ²„λ €μ„œμš” μ €λŠ” 곱의 미뢄이 더 κΈ°μ–΅ν•˜κΈ° νŽΈν•˜λ”κ΅°μš” κ·Έλž˜μ„œ λ‹€μ‹œ 써보면 yκ°€ (e^x) Γ— (2+xΒ³)^-1이 λ©λ‹ˆλ‹€ 이 식을 λ―ΈλΆ„ν•˜λ©΄ 이제 y' 을 κ΅¬ν•˜κΈ° μœ„ν•΄ e^xλ₯Ό λ―ΈλΆ„ν•˜κ³  이떄 e^xλŠ” κ·ΈλŒ€λ‘œ e^x둜 λ‚¨μŠ΅λ‹ˆλ‹€ μ κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ 미뢄을 ν•΄μ£Όλ©΄ e^x의 μ‹ κΈ°ν•œ μ„±μ§ˆμ— 따라 e^x의 λ„ν•¨μˆ˜λŠ” κ·ΈλŒ€λ‘œ e^xκ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ 거기에 (2+xΒ³)^-1λ₯Ό κ³±ν•©λ‹ˆλ‹€ 그리고 여기에 λ―ΈλΆ„ν•˜μ§€ μ•Šμ€ e^x 에닀가 (2+xΒ³)^-1λ₯Ό λ―ΈλΆ„ν•œ 식을 κ³±ν•΄μ„œ λ”ν•©λ‹ˆλ‹€ 이 식을 λ―ΈλΆ„ν•΄μ£Όλ©΄ 연쇄 법칙을 μ‚¬μš©ν•˜κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ 즉 (2+xΒ³)^-1을 (2+xΒ³)둜 λ―ΈλΆ„ν•˜κ³  (2+xΒ³)을 x에 λŒ€ν•΄ λ―ΈλΆ„ν•΄μ„œ κ³±ν•΄ μ€λ‹ˆλ‹€ λ”°λΌμ„œ 이 μ‹μ˜ λ„ν•¨μˆ˜λŠ” -(2+xΒ³)^-2 에닀가 (2+xΒ³)을 x에 λŒ€ν•΄ λ―ΈλΆ„ν•œ 식을 κ³±ν•©λ‹ˆλ‹€ x에 λŒ€ν•΄ 미뢄해보면 κ·Έλƒ₯ 3x²이 λ˜κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ λ¬Όλ‘  μ›ν•œλ‹€λ©΄ 살짝 더 λ‹¨μˆœν™” ν•  수 μžˆμ§€λ§Œ μ€‘μš”ν•œ 것은 그게 μ•„λ‹ˆλΌ 이 μ μ—μ„œμ˜ λ―ΈλΆ„κ³„μˆ˜λ₯Ό κ΅¬ν•˜λŠ” κ²ƒμ΄λ―€λ‘œ κ·Έλƒ₯ κ³„μ‚°ν•˜κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ y'(1)을 κ΅¬ν•΄λ΄…μ‹œλ‹€ y'(1)을 ꡬ해보면 e^xλŠ” eκ°€ 되고 여기에 1/(2+1)이 κ³±ν•΄μ§‘λ‹ˆλ‹€ 즉 1/3이 될 κ²λ‹ˆλ‹€ (2+1)의 μ—­μˆ˜λŠ” 1/3μ΄λ‹ˆκΉŒμš” 1/3μž…λ‹ˆλ‹€ μ•žμ˜ 항은 e/3이 되고 두 번째 항은 e에닀가 이 식에 1을 λ„£μ–΄ 곱해쀄 κ²λ‹ˆλ‹€ 이 κ΄„ν˜Έμ˜ μ•ˆμ„ κ³„μ‚°ν•˜λ©΄ 2+1의 -2승이 λ˜λ―€λ‘œ 이 식 μ•ˆμ˜ 값은 λΆ€μ£Όμ˜ν•œ μ‹€μˆ˜κ°€ 없도둝 μ‘°μ‹¬μŠ€λŸ½κ²Œ κ³„μ‚°ν•˜λ©΄ 3^-2κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ 3의 μ œκ³±μ€ 9μ΄λ―€λ‘œ 3^-2은 1/9κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ κ·Έλž˜μ„œ 1/9κ°€ λ˜κ² λ„€μš” μ•žμ˜ -1을 κ³±ν•΄μ£Όλ©΄ -1/9κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ 그리고 뒀에 μžˆλŠ” 3κ³Ό 1을 κ³±ν•΄μ£Όλ©΄ 즉 1/9에 3을 κ³±ν•΄μ£Όλ©΄ 3을 μ—¬κΈ°μ„œ κ³±ν•˜κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ 그러면 -3/9 즉 -1/3이 λ˜κ² λ„€μš” -1/3을 κ³±ν•˜λ©΄ μ—¬κΈ°μ„œ μ œκ°€ ν•œ 일은 κ·Έμ € x에 1을 λ„£κ³  값을 κ΅¬ν–ˆμ„ λΏμž…λ‹ˆλ‹€ κ²°κ³Όκ°€ ν₯λ―Έλ‘­μŠ΅λ‹ˆλ‹€ 이 뢀뢄을 λ‹€μ‹œ μ“°κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ 전체 식이 e/3-e/3μ΄λ―€λ‘œ 0이 λ˜κ² λ„€μš” κ·ΈλŸ¬λ―€λ‘œ xκ°€ 1일 λ•Œμ˜ λ„ν•¨μˆ˜μ˜ ν•¨μˆ«κ°’λŠ” 0μž…λ‹ˆλ‹€ 즉 κ·Έ μ μ—μ„œμ˜ μ ‘μ„ μ˜ κΈ°μšΈκΈ°κ°€ 0인 것 μž…λ‹ˆλ‹€ κ°„λ‹¨ν•œ μƒν™©μœΌλ‘œ λ‹¨μˆœν™” λ˜μ—ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ μ ‘μ„ μ˜ 식을 ν‘œμ€€ν˜•μœΌλ‘œ μ λŠ”λ‹€λ©΄ y=mx+b둜 λ‚˜νƒ€λ‚Ό 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ μ΄λ•Œ m이 μ§μ„ μ˜ 기울기고 bκ°€ y 절편이 될 κ²λ‹ˆλ‹€ μš°λ¦¬λŠ” 이 μ μ—μ„œμ˜ μ ‘μ„ μ˜ κΈ°μšΈκΈ°κ°€ 0μ΄λΌλŠ” 것을 μ•ŒκΈ° λ•Œλ¬Έμ— m은 0이 될 것 μž…λ‹ˆλ‹€ λ”°λΌμ„œ 이 전체가 0이 λ©λ‹ˆλ‹€ 그러면 전체 μ‹μ˜ ν˜•νƒœλŠ” y=bκ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ xμΆ•κ³Ό ν‰ν–‰ν•œ 직선이 λ˜κ² λ„€μš” κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄ xμΆ•κ³Ό ν‰ν–‰ν•œ 직선듀 μ€‘μ—μ„œ 이 점을 μ§€λ‚˜λŠ” 직선은 λ¬΄μ—‡μΌκΉŒμš”? 일단 yκ°’μœΌλ‘œ e/3을 κ°€μ Έμ•Ό ν•©λ‹ˆλ‹€ 이 식은 항상 같은 y값을 가지기 떄문에 e/3을 y κ°’μœΌλ‘œ 가진닀면 이 μ μ—μ„œμ˜ μ ‘μ„ μ˜ 방정식이 y=e/3이 λœλ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ λ‹€λ₯Έ λ°©λ²•μœΌλ‘œ μƒκ°ν•˜λ©΄ y=b에닀가 x=1을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄ xκ°€ 사라져 버리긴 ν–ˆμ§€λ§Œ λ§μž…λ‹ˆλ‹€ μ–΄μ¨Œλ“  xκ°€ 1이면 y=e/3이 λ˜μ–΄μ•Ό ν•©λ‹ˆλ‹€ κ·Έλž˜μ„œ b=e/3이 λ©λ‹ˆλ‹€ 즉 y=e/3이 λ©λ‹ˆλ‹€ κ²°κ΅­ x좕에 ν‰ν–‰ν•œ 직선이 λ˜μ—ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ κ²°κ³Όλ₯Ό ν™•μ‹€νžˆ μ΄ν•΄ν•˜κΈ° μœ„ν•΄μ„œ μ‹œκ°ν™”ν•΄λ΄…μ‹œλ‹€ κ·Έλž˜ν”„ 계산기λ₯Ό κΊΌλƒˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ κ·Έλž˜ν”„ λͺ¨λ“œλ₯Ό μ„ νƒν•©λ‹ˆλ‹€ μ–΄λ–»κ²Œ ν•˜λŠλƒλ©΄ 문자 κ·ΈλŒ€λ‘œ κ·Έλž˜ν”„λ‘œ μ΄λ™ν•΄μ„œ y=(e^x)/(2+xΒ³)λ₯Ό μž…λ ₯ν•©λ‹ˆλ‹€ 맞게 친 것 κ°™μŠ΅λ‹ˆλ‹€ μ‹œκ°„μ„ μ ˆμ•½ν•˜κΈ° μœ„ν•΄ 미리 λ²”μœ„λ₯Ό μ„€μ •ν–ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ κ·Έλž˜ν”„λ₯Ό κ·Έλ¦¬κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ λ΄…μ‹œλ‹€ ν₯미둜운 ν˜•νƒœκ°€ λ‚˜νƒ€λ‚˜λŠ”κ΅°μš” μ’‹μŠ΅λ‹ˆλ‹€ λ³΄μ‹­μ‹œμ˜€ 이제 xκ°€ 1일 λ•Œλ₯Ό μ°Ύμ•„λ³΄κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€ x=1 μ—¬κΈ° y=3/e라고 쓰인 것이 보이싀 κ²λ‹ˆλ‹€ 이 뢀뢄은 μ†Œμˆ˜λ‘œ λ‚˜νƒ€λ‚Έ 것 μž…λ‹ˆλ‹€ μ‹€μ œλ‘œ 이곳의 κΈ°μšΈκΈ°κ°€ 0인 것을 확인할 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ 접선은 x좕에 ν‰ν–‰ν•˜κ²Œ 그렀질 것 μž…λ‹ˆλ‹€ 이것을 λ³΄λ‹ˆ 기뢄이 μ’‹μ•„μ§€λŠ”κ΅°μš”