y=𝑒ˣ/(2+x³)의 접선

이번에 가져온 곡선은 (e^x)/(2+x³)입니다 우리가 원하는 것은 x=1에서의 접선의 방정식을 구하는 것입니다 x=1일 때 y=e/3이 됩니다 y좌표는 e/3입니다 이 점에서 접선의 방정식을 떠올려 봅시다 잠시 멈추고 고민해보세요 우선 이 점에서의 접선의 기울기는 이 점에서의 도함수의 함숫값이 될 것 입니다 그러므로 우선 이 함수의 도함수를 구해서 (1,e/3)를 대입합시다 그러기 위해서 이 식을 다시 적겠습니다 물론 분수식의 미분을 사용해도 되지만 항상 분수식 미분 공식을 잊어버려서요 저는 곱의 미분이 더 기억하기 편하더군요 그래서 다시 써보면 y가 (e^x) × (2+x³)^-1이 됩니다 이 식을 미분하면 이제 y' 을 구하기 위해 e^x를 미분하고 이떄 e^x는 그대로 e^x로 남습니다 적겠습니다 미분을 해주면 e^x의 신기한 성질에 따라 e^x의 도함수는 그대로 e^x가 됩니다 거기에 (2+x³)^-1를 곱합니다 그리고 여기에 미분하지 않은 e^x 에다가 (2+x³)^-1를 미분한 식을 곱해서 더합니다 이 식을 미분해주면 연쇄 법칙을 사용하겠습니다 즉 (2+x³)^-1을 (2+x³)로 미분하고 (2+x³)을 x에 대해 미분해서 곱해 줍니다 따라서 이 식의 도함수는 -(2+x³)^-2 에다가 (2+x³)을 x에 대해 미분한 식을 곱합니다 x에 대해 미분해보면 그냥 3x²이 되겠습니다 물론 원한다면 살짝 더 단순화 할 수 있지만 중요한 것은 그게 아니라 이 점에서의 미분계수를 구하는 것이므로 그냥 계산하겠습니다 y'(1)을 구해봅시다 y'(1)을 구해보면 e^x는 e가 되고 여기에 1/(2+1)이 곱해집니다 즉 1/3이 될 겁니다 (2+1)의 역수는 1/3이니까요 1/3입니다 앞의 항은 e/3이 되고 두 번째 항은 e에다가 이 식에 1을 넣어 곱해줄 겁니다 이 괄호의 안을 계산하면 2+1의 -2승이 되므로 이 식 안의 값은 부주의한 실수가 없도록 조심스럽게 계산하면 3^-2가 됩니다 3의 제곱은 9이므로 3^-2은 1/9가 됩니다 그래서 1/9가 되겠네요 앞의 -1을 곱해주면 -1/9가 됩니다 그리고 뒤에 있는 3과 1을 곱해주면 즉 1/9에 3을 곱해주면 3을 여기서 곱하겠습니다 그러면 -3/9 즉 -1/3이 되겠네요 -1/3을 곱하면 여기서 제가 한 일은 그저 x에 1을 넣고 값을 구했을 뿐입니다 결과가 흥미롭습니다 이 부분을 다시 쓰겠습니다 전체 식이 e/3-e/3이므로 0이 되겠네요 그러므로 x가 1일 때의 도함수의 함숫값는 0입니다 즉 그 점에서의 접선의 기울기가 0인 것 입니다 간단한 상황으로 단순화 되었습니다 접선의 식을 표준형으로 적는다면 y=mx+b로 나타낼 수 있습니다 이때 m이 직선의 기울기고 b가 y 절편이 될 겁니다 우리는 이 점에서의 접선의 기울기가 0이라는 것을 알기 때문에 m은 0이 될 것 입니다 따라서 이 전체가 0이 됩니다 그러면 전체 식의 형태는 y=b가 됩니다 x축과 평행한 직선이 되겠네요 그렇다면 x축과 평행한 직선들 중에서 이 점을 지나는 직선은 무엇일까요? 일단 y값으로 e/3을 가져야 합니다 이 식은 항상 같은 y값을 가지기 떄문에 e/3을 y 값으로 가진다면 이 점에서의 접선의 방정식이 y=e/3이 된다는 것을 알 수 있습니다 다른 방법으로 생각하면 y=b에다가 x=1을 대입하면 x가 사라져 버리긴 했지만 말입니다 어쨌든 x가 1이면 y=e/3이 되어야 합니다 그래서 b=e/3이 됩니다 즉 y=e/3이 됩니다 결국 x축에 평행한 직선이 되었습니다 결과를 확실히 이해하기 위해서 시각화해봅시다 그래프 계산기를 꺼냈습니다 그래프 모드를 선택합니다 어떻게 하느냐면 문자 그대로 그래프로 이동해서 y=(e^x)/(2+x³)를 입력합니다 맞게 친 것 같습니다 시간을 절약하기 위해 미리 범위를 설정했습니다 그래프를 그리겠습니다 봅시다 흥미로운 형태가 나타나는군요 좋습니다 보십시오 이제 x가 1일 때를 찾아보겠습니다 x=1 여기 y=3/e라고 쓰인 것이 보이실 겁니다 이 부분은 소수로 나타낸 것 입니다 실제로 이곳의 기울기가 0인 것을 확인할 수 있습니다 접선은 x축에 평행하게 그려질 것 입니다 이것을 보니 기분이 좋아지는군요