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주요 내용
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동영상 대본

주어진 함수는 y=(5-3x)/(x^2+3x)이고 이 함수의 x에 대한 도함수를 찾고자 합니다 바로 보이실 수도 있는 사실은 y가 두 개의 다른 식의 비율로 유리식으로 정의되어 있다는 것이죠 이들을 두 개의 함수로도 볼 수 있겠습니다 분자에 이것을 u(x) 그러니까 이 식이 이것과 같게 분자를 u(x)로 적고 분모의 식을 v(x)로 적습니다 이것이 v(x)입니다 그리고 이런 형태로 표현되는 두 함수의 비율 꼴의 도함수를 구할 때는 몫의 미분법을 쓸 수 있습니다 잠시 부연설명을 하자면 몫의 미분법을 잊어버렸다면 곱의 미분법에서 유도할 수 있습니다 그 영상도 따로 있고요 곱의 미분법이 좀 더 기억하기 쉬우니 도움이 될 겁니다 하지만 지금은 dy/dx=u(x)/v(x) 일 때 함수의 몫의 미분법을 적기만 하겠습니다 그 식은 분자 함수의 도함수 즉, du(x)/dx 곱하기 분모 함수 v(x) v(x) 빼기 분자 함수 u(x) 곱하기 분모 함수의 도함수 dv(x)/dx 거의 다 썼습니다 아까까지가 분자이고 분모는 분모 함수의 제곱입니다 복잡해 보일 수 있지만 u(x)의 도함수와 v(x)의 도함수를 구해 보고 이제껏 쓴 식에 대입만 하면 됩니다 직접 해 보죠 u(x)가 5-3x니까 x에 대한 도함수는 5를 미분하면 0이고 -3x를 미분하면 -3이죠 전체를 미분하면 -3입니다 익숙하지가 않다면 도함수의 성질과 x^n의 도함수를 복습해 주세요 다음 v(x)의 x에 대한 도함수는 무엇일까요? x^2을 미분하면 지수가 앞으로 튀어나오고 2x^(2-1)=2x^1 곧 2x이고 3x를 미분하면 3이죠 전체를 미분하면 2x+3입니다. 저 식에 대입해야 할 것들을 모두 구했습니다 u의 x에 대한 도함수 -3을 넣고 v(x)=x^2+3x 를 그대로 대입합니다 다음 u(x)=5-3x 이고 v의 x에 대한 도함수 2x+3을 넣습니다 분모는 v(x)=x^2+3x 그대로 대입해 주면 어떤 식이 나오죠? 좁 번잡스러운 모습이네요 식은 마이너스로 시작하고 분자에 이 부분부터 먼저 정리하죠 -3(x^2+3x) -3을 분배하면 -3x^2-9x 거기서 이 두 식의 곱을 빼야 하는데 어떤 식인지 볼게요 5*2x로 10x가 있고 5*3=15 -3x*2x 즉 -6x^2 또 -3x*3 즉 -9x가 있습니다 식을 정리해 보죠 10x-9x는 x가 되는군요 10x-9x=x 한편 분모는 거의 다 했습니다 분모에는 그대로 (x^2+3x)^2이라고 써도 되고 원한다면 전개해서 써도 되지만 저는 (x^2+3x)^2로 남겨 두겠습니다 분자의 식을 마저 정리해 보죠 -3x^2-9x - 기호를 분배하면 -x-15 그리고 -(-6x^2)은 6x^2이고 아까 분모는 x^2+3x 제곱이었습니다 x^2+3x 전체의 제곱이요 이렇게 말해야 정확하죠 분자를 간단히 해 봅시다 -3x^2+6x^2는 3x^2이고 주황색으로 표시할게요 -9x-x는 -10x가 되고 -15는 그대로 -15입니다 드디어 끝났습니다 이 전체 유리식의 도함수는 (3x^2-10x-15) 나누기 (x^2+3x)^2 입니다 (x^2+3x)^2 입니다