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표를 통한 함수의 몫의 미분법 예제

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f를 f(-1) = 3 이고 f'(-1) = 5인 함수로 둡시다 f를 f(-1) = 3 이고 f'(-1) = 5인 함수로 둡시다 f를 f(-1) = 3 이고 f'(-1) = 5인 함수로 둡시다 x에 관한 함수 g는 g(x) = 2x³으로 표현됩니다 대문자 F는 g(x)/f(x) 로 정의되는 함수입니다 대문자 F는 g(x)/f(x) 로 정의되는 함수입니다 대문자 F는 g(x)/f(x) 로 정의되는 함수입니다 이제 F'(-1) 값을 찾아야합니다 이제 F'(-1) 값을 찾아야합니다 이를 위해서는 F'(x) 값을 구하고 이를 위해서는 F'(x) 값을 구하고 x에 -1을 대입하면 됩니다 F(x)가 정의된 형태를 보면 F(x)가 정의된 형태를 보면 F(x)가 두 함수의 몫임을 알 수 있습니다 따라서 F의 도함수를 구함에 있어 따라서 F의 도함수를 구함에 있어 몫의 규칙이 중요합니다 이것이 무엇인지 알려드리겠습니다 지금 언급할 몫의 규칙은 알면 유용하겠지만 잊어버린다고 해도 곱셈 법칙과 연쇄 법칙으로부터 빠르게 얻어낼 수 있습니다 곱셈 법칙과 연쇄 법칙으로부터 빠르게 얻어낼 수 있습니다 연쇄 법칙을 안다면 말입니다 연쇄 법칙을 안다면 말입니다 그렇지만 지금은 몫의 법칙을 바로 언급하겠습니다 분자에 어떤 함수가 있고 분모에 어떤 함수가 이를 나누는 형태로 정의되는 함수가 있다면 이것의 도함수는 사실 이 식 자체가 몫의 규칙인데 분자에 있던 함수 f(x)의 도함수 즉  df(x)  / dx 곱하기 분모에 있던 함수 g(x) 빼기 분자에 있던 도함수가 아니라 함수 f(x) 빼기 분자에 있던 도함수가 아니라 함수 f(x) 곱하기 분모에 있던  수 g(x)의 도함수 즉 dg(x) / dx 이후에는 이 전체 식을 분모에 있던 함수 g(x)의 제곱으로 나눕니다 분모에 있던 함수 g(x)의 제곱으로 나눕니다 이 식을 다른 표기로 간단하게 적을 수 있습니다 도함수 연산자 대신에 도함수 연산자 대신에 이 식은 g'(x)로 이 식은 f'(x)로 나타낼 수 있습니다 이제 식을 계산하기만 하면 됩니다 어떻게 계산할까요? 지금 해봅시다 F'(-1)을 구하고 싶습니다 F'(-1)을 구하고 싶습니다 그러면 F'(-1)은 이 식의 x 값에 -1을 대입한 값이 됩니다 소문자 f'(-1)에 소문자 f'(-1)에 g(-1)을 곱하고 여기에 f(-1) 곱하기 g(-1)을 합니다 여기에 f(-1) 곱하기 g(-1)을 합니다 위의 식과 같은색으로 적겠습니다 위의 식과 같은색으로 적겠습니다 그 후 나누기 g(-1)의 제곱을 합니다 f'(-1), f(-1), g'(-1), g(-1)의 값은 모두 구할 수 있습니다 f'(-1), f(-1), g'(-1), g(-1)의 값은 모두 구할 수 있습니다 f'(-1), f(-1), g'(-1), g(-1)의 값은 모두 구할 수 있습니다 어떤 건 바로 값을 알려주기도 합니다 f(-1)과 f'(-1) 값은 주어졌고 g(x)에 대해서는 값을 구하면 됩니다 g(-1)부터 구해봅시다 g(-1)부터 구해봅시다 g(-1)은 2 곱하기 (-1)³이므로 g(-1)은 2 곱하기 (-1)³이므로 값은 -2가 됩니다 값은 -2가 됩니다 g'(-1)의 경우에는 먼저 g'(x)를 구합니다 다항식의 미분법을 이용하면 g'(x)는 3 곱하기 2인 6이 계수이고 차수는 3에서 1 감소한 2인 6x²이 됩니다 (-1)²은 1이므로 g'(-1)은 6이 됩니다 이제 모든 값을 알아냈습니다 먼저 f'(-1)에는 이미 주어진 값을 대입합니다 먼저 f'(-1)에는 이미 주어진 값을 대입합니다 먼저 f'(-1)에는 이미 주어진 값을 대입합니다 f'(-1) = 5 입니다 f'(-1) = 5 입니다 g(-1)은 여기 계산했듯이 -2입니다 g(-1)은 여기 계산했듯이 -2입니다 g(-1)은 여기 계산했듯이 -2입니다 f(-1)도 역시 주어졌습니다 f(-1) = 3 입니다 f(-1) = 3 입니다 g'(-1)의 값은 초록색으로 표시하도록 하죠 g'(-1) = 6 였습니다 g'(-1) = 6 였습니다 g'(-1) = 6 였습니다 마지막으로 g(-1)이 남았네요 이것도 이미 계산해두었습니다 g(-1) = 2 였습니다 이제 식을 계산하면 5 곱하기 -2, 즉 -10 뺴기 3 곱하기 6, 즉 18 나누기 (-2)²입니다 즉 4 입니다 따라서 전체 식은 -28 나누기 4인 -7이 됩니다 -28 나누기 4인 -7이 됩니다 이제 답을 얻었습니다 처음에는 어려워 보였겠지만 이 식을 보고 몫의 규칙을 적용할 수 있다는 것만 알면 이를 적용했을 때 g(-1), g'(-1)은 바로 구할 수 있고 g(-1), g'(-1)은 바로 구할 수 있고 f(-1)과 f'(-1)은 주어집니다 도움이 되었기를 바랍니다