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코스: 미분학 > 단원 2

단원 11: 함수의 몫의 미분법

함수의 몫의 미분법 복습

함수의 몫의 미분법을 복습하고 문제를 풀어 봅시다.

함수의 몫의 미분법이란 무엇일까요?

몫 규칙은 다른 두 기본 식의 몫을 어떻게 미분하는지 알려줍니다:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction

기본적으로, f의 도함수와 g를 곱하고, g의 도함수와 f를 곱하여 뺀 뒤, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared으로 전체를 나눕니다.

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함수의 몫의 미분법으로 어떤 문제를 풀 수 있나요?

예제 1

start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, end fraction의 미분 과정은 다음과 같습니다:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin(x)}{x^2}\right) \\\\ &=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(\sin(x))x^2-\sin(x)\dfrac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}&&\gray{\text{함수의 몫의 미분법}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\cdot x^2-\sin(x)\cdot 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{}\sin(x)\text{와 }x^2 미분하기} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\sin(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{간단히 하기}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}&&\gray{\text{공통인수 제거하기}} \end{aligned}

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연습문제 1

최근

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, e, start superscript, x, end superscript, end fraction

f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

비슷한 문제를 더 풀어보고 싶으세요? 이 연습문제를 확인해 보세요.

예제 2

다음 표에 값이 주어져 있습니다:

x	f, left parenthesis, x, right parenthesis	g, left parenthesis, x, right parenthesis	f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4	minus, 4	minus, 2	0	8

H, left parenthesis, x, right parenthesis는 start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction이고, H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis를 구해야 합니다.

함수의 몫의 미분법에 따르면 H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis는 start fraction, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction 입니다. 따라서 H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis는 start fraction, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction 입니다. 식에 표에서 주어진 값을 대입해 봅시다:

\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{(0)(-2)-(-4)(8)}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

이해했는지 확인하기

연습문제 1

최근

x	g, left parenthesis, x, right parenthesis	h, left parenthesis, x, right parenthesis	g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 2	4	1	minus, 1	2

F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction

F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals

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